A B. 4195. feladat (2009. szeptember)

B. 4195. Egy háromszög magasságainak hossza 10, 12 és 15. Mekkorák az oldalai?

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a háromszög oldalai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő magasságok reciprokai, az oldalak aránya 6:5:4. Legyen tehát az oldalak hossza \(\displaystyle 6x\), \(\displaystyle 5x\) és \(\displaystyle 4x\), ahol ezekhez rendre a 10, 12 és 15 hosszú magasságok tartoznak. A Héron-képlet alapján a háromszög \(\displaystyle T\) területére

\(\displaystyle 4T=\sqrt{(6x+5x+4x)(6x+5x-4x)(6x+4x-5x)(5x+4x-6x)}=15\sqrt{7}x^2.\)

Másrészt \(\displaystyle 2T=6x\cdot 10\), ahonnan \(\displaystyle x\)-re a \(\displaystyle 15\sqrt{7}x^2=120x\) egyenletet kapjuk. Innen \(\displaystyle x=8/\sqrt{7}\), a háromszög oldalai pedig \(\displaystyle 48/\sqrt{7}\), \(\displaystyle 40/\sqrt{7}\) és \(\displaystyle 32/\sqrt{7}\).

Statisztika:

192 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	140 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai