A B. 4197. feladat (2009. szeptember)

B. 4197. Igazoljuk, hogy ha egy háromszög oldalaira 2b²=a²+c² teljesül, akkor a háromszög megfelelő szögeire

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A koszinusz-tétel szerint \(\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\), vagyis a feltétel ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle b^2=2ac\cos\beta\). Innen a szinusz-tétel alapján

\(\displaystyle 2\cos\beta=\frac{b}{a}\cdot\frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma},\)

\(\displaystyle 2\text{ctg}\beta = \frac{\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}= \frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}= \frac{\sin\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}= \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\gamma.\)

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai