A B. 4199. feladat (2009. szeptember)

B. 4199. Egy síkbeli A véges ponthalmaz háromszögelése alatt A konvex burkának olyan egymásba nem nyúló háromszögekre történő felbontását értjük, amelyben minden egyes háromszög csúcsai A pontjai közül kerülnek ki, és a csúcspontjai kivételével egy háromszög sem tartalmazza A-nak egyetlen további pontját sem. Igazoljuk, hogy az A halmaz bármely két háromszögelése ugyanannyi háromszöget tartalmaz.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltesszük, hogy \(\displaystyle A\) konvex burka egy \(\displaystyle C\) konvex sokszög, ellenkező esetben ugyanis \(\displaystyle A\)-nak egyáltalán nem létezik háromszögelése, tehát az állítás triviálisan teljesül. Legyen \(\displaystyle C\) csúcsainak száma \(\displaystyle c\), az \(\displaystyle A\) halmaz \(\displaystyle C\) belsejébe eső pontjainak száma \(\displaystyle b\), az \(\displaystyle A\) halmaz \(\displaystyle C\) oldalaira eső pontjainak száma pedig \(\displaystyle a\), ez utóbbiba \(\displaystyle C\) csúcsait nem számoljuk bele. Tegyük fel, hogy valamely háromszögelésben \(\displaystyle h\) számú háromszög szerepel, ezek szögeinek összege \(\displaystyle h\pi\). Ezt másképpen is összeszámolhatjuk: \(\displaystyle A\) egy \(\displaystyle C\) belsejébe eső pontja körül összesen \(\displaystyle 2\pi\), \(\displaystyle A\)-nak \(\displaystyle C\) valamelyik oldalára eső pontja körül összesen \(\displaystyle \pi\) nagyságú szögeket számolhatunk össze, \(\displaystyle C\) csúcsainál pedig összesen annyit, amennyi a \(\displaystyle C\) sokszög szögeinek összege. Ennek alapján

\(\displaystyle h\pi=a(2\pi)+b\pi+(c-2)\pi,\)

ahonnan a háromszögelésben szereplő háromszögek számára minden esetben \(\displaystyle h=2a+b+c-2\) adódik.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aujeszky Tamás, Bágyoni-Szabó Attila, Boér Lehel, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dobosy Kristóf, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Fábián András Balázs, Hajnal Péter János, Herczeg József, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss Csongor, Kovács 444 Áron, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Kunos Vid, Márkus Bence, Mátrahegyi Roland, Mester Márton, Mészáros András, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nemecskó István, Németh Bence, Orsós Ferenc Richárd, Perjési Gábor, Remete László, Sieben Bertilla, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Varnyú József, Végh János, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	31 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai