 |
A B. 4208. feladat (2009. október) |
B. 4208. Legyen n pozitív egész szám. Határozzuk meg a
szám tizedesvessző utáni első számjegyét.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(4 pont)
A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Minden \(\displaystyle k\) pozitív egész számra
\(\displaystyle (k+0,4)^2=k^2+0,8k+0,16\le k^2+0,96k<k^2+k<k^2+k+0,25=(k+0,5)^2,\)
vagyis \(\displaystyle k+0,4<\sqrt{k(k+1)}<k+0,5\). Ezért
\(\displaystyle \sum_{k=1}^nk+0,4n<\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)}< \sum_{k=1}^nk+0,5n,\)
tehát
\(\displaystyle \frac{n+1}{2}+0,4< \sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}\frac{n+1}{2}+0,5.\)
Ha \(\displaystyle n=2m\), akkor a szóban forgó összeg \(\displaystyle m+0,9\) és \(\displaystyle m+1\) közé esik, ha pedig \(\displaystyle n=2m-1\), akkor \(\displaystyle m+0,4\) és \(\displaystyle m+0,5\) közé.
Vagyis páros \(\displaystyle n\) esetén a kérdéses számjegy 9, páratlan \(\displaystyle n\) esetén pedig 4.
Statisztika:
91 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 63 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat.
A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai