Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4208. feladat (2009. október)

B. 4208. Legyen n pozitív egész szám. Határozzuk meg a


\sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}

szám tizedesvessző utáni első számjegyét.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Minden \(\displaystyle k\) pozitív egész számra

\(\displaystyle (k+0,4)^2=k^2+0,8k+0,16\le k^2+0,96k<k^2+k<k^2+k+0,25=(k+0,5)^2,\)

vagyis \(\displaystyle k+0,4<\sqrt{k(k+1)}<k+0,5\). Ezért

\(\displaystyle \sum_{k=1}^nk+0,4n<\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)}< \sum_{k=1}^nk+0,5n,\)

tehát

\(\displaystyle \frac{n+1}{2}+0,4< \sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}\frac{n+1}{2}+0,5.\)

Ha \(\displaystyle n=2m\), akkor a szóban forgó összeg \(\displaystyle m+0,9\) és \(\displaystyle m+1\) közé esik, ha pedig \(\displaystyle n=2m-1\), akkor \(\displaystyle m+0,4\) és \(\displaystyle m+0,5\) közé.

Vagyis páros \(\displaystyle n\) esetén a kérdéses számjegy 9, páratlan \(\displaystyle n\) esetén pedig 4.


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:63 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai