KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4210. feladat (2009. október)

B. 4210. Az a, b, c oldalú, t területű hegyesszögű háromszögre abc=a+b+c teljesül. Bizonyítsuk be, hogy


1<t\le \frac{3\sqrt{3}}{4}\,.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A szokásos jelölésekkel a feltétel szerint

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\frac{2t}{bc}+\frac{2t}{ac}+\frac{2t}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}\cdot2t=2t,\)

ezért a bizonyítandó egyenlőtlenséget

\(\displaystyle 2<\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

alakban is felírhatjuk.

Mivel az \(\displaystyle f(x)=\sin x\) függvény a \(\displaystyle [0,\pi/2]\) intervallumon alulról szigorúan konkáv, a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3}\le \sin\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\)

ahol egyenlőség csakis az \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^\circ\) esetben áll fenn. Innen a felső becslés azonnal leolvasható. Az alsó becsléshez induljunk ki a

\(\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\)

azonosságból. Rögzített \(\displaystyle x+y\) esetén tehát \(\displaystyle \sin x+\sin y\) értéke egyenesen arányos \(\displaystyle \cos\frac{x-y}{2}\) értékével. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle 0<\alpha\le \beta\le \gamma\le \pi/2\), ekkor \(\displaystyle \beta<\pi/2\) is fennáll. Legyen \(\displaystyle \alpha'=\alpha+\gamma-\pi/2\), ekkor \(\displaystyle 0<\alpha'\le \alpha\), \(\displaystyle \alpha'+\pi/2=\alpha +\gamma\) és \(\displaystyle 0\le \gamma-\alpha\le \pi/2-\alpha'<\pi/2\). Ezért

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\frac{\pi}{2}=\sin\alpha'+1.\)

Figyelembe véve azt is, hogy \(\displaystyle 0<\alpha'\le\beta<\pi/2\) és \(\displaystyle \alpha'+\beta=\pi/2\), az előző gondolat újbóli alkalmazásával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\beta+1>\sin 0+\sin\frac{\pi}{2}+1=2,\)

és az is látszik, hogy az alsó becslés nem javítható.


Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Hajdu Ákos, Hegedűs Csaba, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Márkus Bence, Máthé László, Mészáros András, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
3 pontot kapott:Janosov Milán, Kovács 729 Gergely, Medek Ákos, Pálfi Bence, Tóth 419 Péter.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:10 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley