 |
A B. 4232. feladat (2010. január) |
B. 4232. Két vitorlás hajó halad egymásra merőleges irányban, 10 km/h sebességgel a Balatonon. Egy adott időpontban útjaik képzeletbeli metszéspontjához közeledve az \(\displaystyle A\) hajó attól 1 km, míg a \(\displaystyle B\) hajó 2 km távolságra van. Az \(\displaystyle A\)-ról egy ember egyenletes sebességgel úszva, át szeretne jutni a \(\displaystyle B\) hajóhoz. Mikor ugorjon a vízbe, hogy a lehető legkevesebb időt kelljen a vízben töltenie, ha 2 km/h sebességgel képes úszni?
Javasolta: Koncz Levente
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögő koordinátarendszert, melynek középpontja a képzeletbeli metszéspontban van, a két hajó helyzetét pedig az \(\displaystyle A(-1;0)\), illetve \(\displaystyle B(0;-2)\) pontok adják meg, vagyis az egység mindkét tengelyen éppen 1 km, a hajók pedig az egyes koordinátatengelyeken haladnak pozitív irányban. Tegyük fel, hogy az ember a \(\displaystyle C(c;0)\) pontban ugrik a vízbe, majd a \(\displaystyle D(0;d)\) pontban találkozik a másik hajóval, ekkor legalább \(\displaystyle t_0=\sqrt{c^2+d^2}/2\) órát tartózkodik a vízben, méghozzá pontosan akkor nem többet, ha a \(\displaystyle C\) pontból azonnal elkezd teljes sebességgel úszni a \(\displaystyle D\) pont felé, ahová a \(\displaystyle B\) hajóval egyszerre érkezik meg. Az optimális esetben éppen ennek kell megtörténnie. Ha ugyanis \(\displaystyle t>t_0\) ideig tartózkodna a vízben, akkor megtehetné azt, hogy \(\displaystyle t_0\) idő alatt átúszik \(\displaystyle D\)-be, ahol még maradna \(\displaystyle t-t_0\) ideje, amíg a \(\displaystyle B\) hajó odaér. Ekkor azonban a \(\displaystyle B\) hajóval szembeúszva, azzal már hamarabb összetalálkozhatna, amivel \(\displaystyle (t-t_0)/6\) órát megtakaríthatna.
Az optimális esetben tehát ugyanazon \(\displaystyle t_0\) idő alatt a \(\displaystyle B\) hajó \(\displaystyle 2+d-(1+c)=1-c+d\) km utat tesz meg, vagyis fenn kell állnia az \(\displaystyle 1-c+d=5\sqrt{c^2+d^2}\) összefüggésnek. Felhasználva, hogy \(\displaystyle (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)\), innen
\(\displaystyle 1=5\sqrt{c^2+d^2}+(c-d)\le (5+\sqrt{2})\sqrt{c^2+d^2}\)
adódik, vagyis
\(\displaystyle t_0\ge\frac{1}{2(5+\sqrt{2})}.\)
Mivel egyenlőség csakis a
\(\displaystyle c=-d=\frac{1}{\sqrt{2}(5+\sqrt{2})}\)
esetben állhat fenn, innen már könnyő meggondolni, hogy az embernek a képzeletbeli metszéspont elhagyása után
\(\displaystyle \frac{1}{10\sqrt{2}(5+\sqrt{2})}\)
óra (nem egészen 40 mp) elteltével kell beugrania a vízbe.
Statisztika:
68 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Béres Ferenc, Bogár Blanka, Csere Kálmán, Dunay Luca, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Kiss 991 Mátyás, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Máthé László, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 111 Miklós, Nánási József, Pataki Bálint Ármin, Sieben Bertilla, Szabó 124 Zsolt, Tossenberger Tamás, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért. 3 pontot kapott: Csizmadia Luca, Halász Dániel, Iglói Gábor, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Medek Ákos, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Solti Bálint. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 22 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai