A B. 4238. feladat (2010. január)

B. 4238. Mutassuk meg, hogy a egyenletű görbe pontjai egy parabolán helyezkednek el.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a görbe minden pontja ugyanolyan távol van az \(\displaystyle F(1/2;1/2)\) ponttól, mint az \(\displaystyle X+Y=0\) egyenlető \(\displaystyle e\) egyenestől, vagyis illeszkedik arra a parabolára, amelynek fókuszpontja \(\displaystyle F\), vezéregyenese pedig \(\displaystyle e\).

A \(\displaystyle P(X;Y)\) pontnak az \(\displaystyle e\) egyenestől vett távolsága \(\displaystyle d_e=(X+Y)/\sqrt{2}\), az \(\displaystyle F\) ponttól vett távolsága pedig

\(\displaystyle d_F=\sqrt{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}.\)

Minthogy a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X,Y\ge 0\), a \(\displaystyle d_e=d_F\) feltétel a görbe pontjaira ekvivalens a \(\displaystyle d^2_e=d_F^2\), vagyis a

\(\displaystyle \frac{(X+Y)^2}{2}={\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}\)

feltétellel, amit azonos átalakításokkal

\(\displaystyle X^2+Y^2-2XY-2X-2Y+1=0\)

alakra hozhatunk.

Mivel a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X+Y+2\sqrt{XY}=1\), vagyis \(\displaystyle 4XY=(1-X-Y)^2\) teljesül, a görbe pontjai ezt a feltételt valóban kielégítik.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai