A B. 4255. feladat (2010. március)

B. 4255. Mutassuk meg, hogy ha az n pozitív egészre 2n+1 és 3n+1 négyzetszámok, akkor 5n+3 nem lehet prímszám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a<b\) pozitív egész számokkal \(\displaystyle 2n+1=a^2\) és \(\displaystyle 3n+1=b^2\). Ekkor \(\displaystyle n=b^2-a^2\) és \(\displaystyle 5n+2=a^2+b^2\). Ezek szerint \(\displaystyle a^2+b^2=5(b^2-a^2)+2\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1\). Ennek megfelelően

\(\displaystyle 5n+3=a^2+b^2+1=4a^2-b^2=(2a+b)(2a-b).\)

Ha ez prímszám lenne, akkor \(\displaystyle 2a-b=1\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1=2(2a-1)^2+1\) teljesülne, ahonnan \(\displaystyle 5a^2-8a+3=0\), vagyis \(\displaystyle a=1\) következne, hiszen a másodfokú egyenlet másik gyöke nem egész szám. Ekkor azonban \(\displaystyle n=0\) lenne, vagyis az adott feltételek mellett \(\displaystyle 5n+3\) valóban nem lehet prímszám.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai