 |
A B. 4284. feladat (2010. szeptember) |
B. 4284. Bizonyítsuk be, hogy egy érintőtrapéznak van olyan átlója, amelyik az alapokkal legfeljebb 45o-os szöget zár be.
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ABCD érintőtrapéz alapjai legyenek AB és CD, magassága m. A trapéz tükörképe a BC szár felezőpontjára nézve legyen A′CBD′. Ekkor
2m≤BC+AD=AB+CD=AD′.
A C csúcs C′ merőleges vetülete az AB egyenesre az AD′ szakasz belső pontja, hiszen a beírt kör AB szakaszra eső érintési pontja elválasztja az A és C′ pontokat, tükörképének a BD′ szakaszra eső érintési pontja pedig elválasztja a D′ és C′ pontokat az ábrán látható módon.
A fentiek miatt az AC′ és D′C′ szakaszok közül valamelyik legalább olyan hosszú, mint CC′, és ezért az α,β szögek közül a megfelelő nem nagyobb, mint 45∘. A megoldásból az is látszik, hogy ha ABCD nem négyzet, akkor az egyik szög határozottan kisebb, mint 45∘.
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Péter, Balogh Adrienn Judit, Baráti László, Beke Lilla, Beleznay Soma, Bencze Tamás, Bogár-Szabó Tamás, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Kiss 542 Robin, Kovács 737 Ármin, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lenger Dániel, Máthé László, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Németh Krisztián, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Vajda Balázs, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsakó András. 3 pontot kapott: Bogár Blanka, Kiss 904 Tamara. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 36 versenyző.
A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai
|
|