A B. 4285. feladat (2010. szeptember)

B. 4285. Egy sorozat elemei pozitív egész számok, első két eleme az 1 és a 2. A sorozat semelyik két különböző elemének összege nem eleme a sorozatnak. Bizonyítsuk be, hogy bármely k természetes szám esetén a sorozat k-nál kisebb elemeinek száma legfeljebb

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A 3 nem eleme a sorozatnak, a 4 és az 5 számok közül pedig legfeljebb egy lehet a sorozat eleme. Ezért $\displaystyle k\le 5$ esetén az állítás igaz. Tegyük fel, hogy $\displaystyle k\ge 6$ és $\displaystyle k$ kisebb értékeire az állítás már igazolást nyert. Ekkor a sorozat $\displaystyle (k-3)$-nál kisebb elemeinek száma legfeljebb $\displaystyle \frac{k-3}{3} +2=\frac{k}{3} +1$. Továbbá $\displaystyle k-3>2$ miatt a $\displaystyle k-3, k-2, k-1$ számok közül legfeljebb egy lehet eleme a sorozatnak, így a sorozat $\displaystyle k$-nál kisebb elemeinek száma legfeljebb $\displaystyle \frac{k}{3} +2$. A teljes indukció elve alapján az állítás minden $\displaystyle k$ természetes szám esetén érvényes.

Statisztika:

178 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	65 versenyző.
2 pontot kapott:	44 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	48 versenyző.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai