 |
A B. 4286. feladat (2010. szeptember) |
B. 4286. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 36 egység. Az egyik befogóra, a derékszögű csúcstól indítva, egymáshoz csatlakozó szabályos háromszögek végtelen sorozatát rajzoljuk úgy, hogy a beírt háromszögek harmadik csúcsa mindig illeszkedik az átfogóra, és ezen csúcsokkal szemközti oldalaik kitöltik a befogót. Határozzuk meg a szabályos háromszögek területének összegét.
(Kavics Kupa feladata nyomán)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A derékszögű háromszög csúcsai legyenek az ábra szerint A,B,C. Az AC befogóra rajzolt szabályos háromszögek közül a legnagyobbnak az egyik csúcsa C kell legyen, ez a CDX háromszög a végtelen sorozat első eleme.
A D csúcs vetülete az AC,BC befogókra legyen E, illetve F, a DF egyenesre X-ben állított merőlegesnek az AB és DF egyenesekkel alkotott metszéspontja pedig Y, illetve Z. Mivel FD=CE=EX=DZ, a BDF és YDZ egyenlő szárú derékszögű háromszögek egybevágók. Ezért a BCXY trapéz területe megegyezik az FCXZ téglalap területével, melynek pontosan a felét tölti ki a CDX háromszög.
Ha a végtelen sorozatban szereplő háromszögek AC befogóra eső csúcsaiban merőlegeseket állítunk az AC egyenesre, akkor ezek az ABC háromszöget a BCXY trapézhoz hasonló négyszögek végtelen sorozatára bontják úgy, hogy minden egyes háromszög az őt tartalmazó trapéz területének pontosan felét tölti ki. Ezért a szabályos háromszögek területének összege megegyezik az ABC háromszög területének felével, ami 362/4=182=324 területegységet tesz ki.
Statisztika:
151 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 85 versenyző. 3 pontot kapott: 39 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai
|
|