A B. 4288. feladat (2010. szeptember)

B. 4288. A és B az egységkocka két szemközti csúcsa. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, amely érinti a kocka A-n átmenő lapjait és B-n átmenő éleit.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a gömb sugara \(\displaystyle r\) (ahol \(\displaystyle 0<r<1\)), akkor gömb középpontja az \(\displaystyle A\)-n átmenő lapoktól \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle B\)-n átmenő lapoktól \(\displaystyle 1-r\) távolságra helyezkedik el, a \(\displaystyle B\)-n átmenő élektől tehát \(\displaystyle \sqrt{2}(1-r)\) távolságra esik. Ennek alapján

\(\displaystyle r=\sqrt{2}(1-r),\quad r(1+\sqrt{2})=\sqrt{2},\quad r=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}={\sqrt{2}}(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.\)

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Árvay Balázs, Bakó Aletta, Baranyai Zoltán, Baráti László, Boda Regina, Bodai Kristóf, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csizmadia Luca, Csörgő András, Csuma-Kovács Rita, Dankovics Viktor, Énekes Tamás, Győrfi 946 Mónika, Hajnal Máté, Jéhn Zoltán, Kenéz Balázs, Kiss Boldizsár, Kordás Péter, Lezsák Gábor, Maga Balázs, Medek Ákos, Móricz Tamás, Nagy 993 András, Nagy Dániel Bálint, Palincza Richárd, Schultz Vera Magdolna, Solti Bálint, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 928 Attila, Szentgyörgyi 994 Rita, Szkalisity Ábel, Tárkányi Máté, Turányi László, Ulveczki Balázs, Varga 515 Balázs, Varga 911 Szabolcs, Varjú János, Vuchetich Bálint, Weiler Virág, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zsakó András, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai