A B. 4289. feladat (2010. szeptember)

B. 4289. Az A₁A₂A₃A₄ trapéz átlói A₁A₃=e és A₂A₄=f. Jelölje r_i az A_jA_kA_l háromszög körülírt körének sugarát, ahol {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Mutassuk meg, hogy

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A trapéz $\displaystyle A_i$ csúcsánál levő szöget jelölje $\displaystyle \alpha_i$. A szinusz-tétel szerint

$\displaystyle e=2r_2\sin\alpha_4=2r_4\sin\alpha_2,\quad f=2r_1\sin\alpha_3=2r_3\sin\alpha_1.$

Ha a trapéz alapjai $\displaystyle A_1A_2$ és $\displaystyle A_3A_4$, akkor $\displaystyle \alpha_1+\alpha_4=\alpha_2+\alpha_3=\pi$, vagyis $\displaystyle \sin\alpha_1=\sin\alpha_4$ és $\displaystyle \sin\alpha_2=\sin\alpha_3$. Ezáltal

$\displaystyle \frac{r_2+r_4}{e}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_4}+\frac{1}{\sin\alpha_2}\right)= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_1}+\frac{1}{\sin\alpha_3}\right)= \frac{r_3+r_1}{f}.$

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai