A B. 4289. feladat (2010. szeptember)

B. 4289. Az A₁A₂A₃A₄ trapéz átlói A₁A₃=e és A₂A₄=f. Jelölje r_i az A_jA_kA_l háromszög körülírt körének sugarát, ahol {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Mutassuk meg, hogy

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A trapéz \(\displaystyle A_i\) csúcsánál levő szöget jelölje \(\displaystyle \alpha_i\). A szinusz-tétel szerint

\(\displaystyle e=2r_2\sin\alpha_4=2r_4\sin\alpha_2,\quad f=2r_1\sin\alpha_3=2r_3\sin\alpha_1.\)

Ha a trapéz alapjai \(\displaystyle A_1A_2\) és \(\displaystyle A_3A_4\), akkor \(\displaystyle \alpha_1+\alpha_4=\alpha_2+\alpha_3=\pi\), vagyis \(\displaystyle \sin\alpha_1=\sin\alpha_4\) és \(\displaystyle \sin\alpha_2=\sin\alpha_3\). Ezáltal

\(\displaystyle \frac{r_2+r_4}{e}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_4}+\frac{1}{\sin\alpha_2}\right)= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_1}+\frac{1}{\sin\alpha_3}\right)= \frac{r_3+r_1}{f}.\)

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai