A B. 4291. feladat (2010. szeptember)

B. 4291. Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b, c pozitív számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:

a^bb^cc^aa^ab^bc^c.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A logaritmus-függvény tulajdonságai miatt az egyenlőtlenség ekvivalens a

$\displaystyle 0\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b+(c-a)\ln c$

egyenlőtlenséggel. A ciklikus szimmetria miatt elegendő az $\displaystyle a\le b\le c$, illetve a $\displaystyle c\le b\le a$ eseteket megvizsgálni. Az első esetben

$\displaystyle (b-a)\ln a+ (c-b)\ln b\le (b-a)\ln c+ (c-b)\ln c=(c-a)\ln c,$

míg a másodikban

$\displaystyle (a-c)\ln c= (a-b)\ln c+(b-c)\ln c\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b$

igazolja az állítást. Azt is könnyen leolvashatjuk, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám ugyanaz.

Statisztika:

135 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	39 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai