Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4306. feladat (2010. november)

B. 4306. Oldjuk meg a következő egyenletet:

16x2+y+16y2+x=1.

(Erdélyi versenyfeladat)

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

\(\displaystyle 16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}=16^{x^2+y^2+x+y}\ge 16^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{4},\)

hiszen

\(\displaystyle x^2+y^2+x+y+\frac{1}{2}=\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+ \Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^2\ge 0.\)

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\). Felhasználva a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget,

\(\displaystyle 16^{x^2+y} + 16^{y^2+x}\ge 2\sqrt{16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}}\ge 1,\)

és a leírtak alapján világos, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\) esetben állhat fenn. Mivel akkor valóban fennáll, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\).


Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:63 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai