Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4316. feladat (2010. december)

B. 4316. Legyen az ABCD négyzet BC oldalának B-hez legközelebbi ötödölő pontja E, továbbá a CD oldal D-hez közelebbi harmadolópontjának C-re vonatkozó tükörképe F. Mutassuk meg, hogy az AE és BF egyenesek az ABCD négyzet köré írt körön metszik egymást.

Javasolta: Szászné Simon Judit (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Elegendő azt megmutatni, hogy \(\displaystyle CMB\sphericalangle=135^\circ\). Mivel a \(\displaystyle CMB\) szög nagyobb a \(\displaystyle 45^\circ\)-nál nyilván nagyobb \(\displaystyle CFB\) szögnél, ez egyenértékű azzal, hogy \(\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=1/\sqrt{2}\). Legyen a négyzet oldala egységnyi, ekkor \(\displaystyle CF=2/3\). A \(\displaystyle CFM\) háromszögben

\(\displaystyle \sin CFM\sphericalangle=\sin CFB\sphericalangle=\frac{CB}{FB}=\frac{1}{\sqrt{CF^2+CB^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.\)

A \(\displaystyle CM\) szakasz hosszának meghatározásához tekintsük az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle DC\) egyenesek \(\displaystyle X\) metszéspontját. Az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle XCE\) háromszögek hasonlóságából \(\displaystyle CX=CX:AB=CE:BE=4\). Ezért \(\displaystyle FX=CX-CF=10/3\), vagyis az \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle FB\) szakaszt \(\displaystyle FX:AB=10:3\) arányban osztja. Ha az \(\displaystyle M\) pont vetülete a \(\displaystyle CF\) és \(\displaystyle CB\) szakaszokra \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\), akkor ennek alapján \(\displaystyle CV=\frac{10}{13}CB=\frac{10}{13}\) és \(\displaystyle CU=\frac{3}{13}CF=\frac{2}{13}\), ahonnan

\(\displaystyle CM=\sqrt{CU^2+CV^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.\)

Végül a szinusz-tétel alapján

\(\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=\frac{CF}{CM}\cdot\sin CFM\sphericalangle=1/\sqrt{2},\)

ahogyan azt bizonyítani kívántuk.


Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:96 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai