A B. 4332. feladat (2011. február)

B. 4332. A dobókocka lapjainak helyes számozása esetén bármely lap szomszédaira írt számok összege egyenlő. Meg lehet-e hasonló módon számozni a dobódodekaéder lapjait 1-től 12-ig?

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik megfelelő számozás, melyre bármely lap szomszédaira írt számok összege $\displaystyle S$-sel egyenlő. Mivel minden lapnak pontosan 5 szomszédja van, minden egyes szám a 12 szóban forgó összeg közül pontosan 5-ben szerepel összeadandóként. A dobódodekaéder lapjaira írt számok összege $\displaystyle 1+2+\ldots+12=78$. Ezek alapján $\displaystyle 12\cdot S=5\cdot 78$, vagyis $\displaystyle S=65/2$, ami nem egész szám, tehát nem lehet 5 darab egész szám összege. Ez azt jelenti, hogy nem létezhet megfelelő számozás.

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	122 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai