Problem B. 4437. (March 2012)

B. 4437. Given the centres of the circumscribed circle and two escribed circles of a triangle, construct the triangle.

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megtartva a februári B. 4428. feladat megoldásának jelöléseit, feladatunk az \(\displaystyle O_a, O_b\) pontok és az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írható \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle O\) középpontjának ismeretében megszerkeszteni az \(\displaystyle ABC\) háromszöget. Ahogyan azt az említett feladat megoldása során láttuk, az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög olyan hegyesszögű háromszög, melynek talpponti háromszöge \(\displaystyle ABC\), Feuerbach-köre pedig \(\displaystyle k\). Ezért egyrészt az \(\displaystyle O\) pont az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög belsejébe kell essen, tehát nem eshet az \(\displaystyle O_aO_b\) egyenesre. Másrészt a \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle O_aO_b\) szakaszt annak \(\displaystyle F\) felezőpontjában és a \(\displaystyle C\) csúcsban metszi (vagy érinti, ha a két pont egybeesik). Az \(\displaystyle O_a, O_b\) pontok ismeretében megszerkeszthetjük az \(\displaystyle F\) pontot, majd az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle OF\) sugarú \(\displaystyle k\) kört, és végül a \(\displaystyle C\) csúcsot is, feltéve, hogy az \(\displaystyle O\) pontnak az \(\displaystyle O_aO_b\) szakaszra eső merőleges vetülete közelebb van az \(\displaystyle F\) ponthoz, mint az \(\displaystyle O_a, O_b\) pontok bármelyikéhez, ez ugyanis annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a \(\displaystyle k\) körnek az \(\displaystyle O_aO_b\) egyenessel alkotott második metszéspontja (vagy érintési pontja) az \(\displaystyle O_aO_b\) szakasz belsejébe essen. Ezek után megszerkeszthetjük az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög köré írható \(\displaystyle k'\) kört is, tudván hogy ez áthalad az \(\displaystyle O_a, O_b\) pontokon, sugara pedig kétszerese a \(\displaystyle k\) kör sugarának. Ennek szükséges feltétele, hogy az \(\displaystyle OF\) szakasz kétszerese ne legyen rövidebb az \(\displaystyle O_aO_b\) szakasz felénél. Sőt egyenlő sem lehet azzal, mert akkor az \(\displaystyle O_aO_b\) szakasz átmérője lenne a \(\displaystyle k'\) körnek, és így az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög nem lehetne hegyesszögű. Vagyis teljesülnie kell a \(\displaystyle 4OF>O_aO_b\) feltételnek is. Ha ez teljesül, akkor a \(\displaystyle k'\) kör felvételére elvileg két lehetőségünk van, ezek közül azt kell választanunk, amelyikben a \(\displaystyle k'\) kör középpontja az \(\displaystyle O_aO_b\) egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint az \(\displaystyle O\) pont, ellenkező esetben ugyanis \(\displaystyle O\) nem eshetne a hegyesszögű \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög belsejébe. Az \(\displaystyle O_c\) pontot az \(\displaystyle O_aO_b\) szakaszra \(\displaystyle C\)-ben állított merőlegesnek \(\displaystyle k'\)-vel alkotott metszéspontjaként kaphatjuk meg. Elvileg erre is két lehetőségünk van, de ahhoz, hogy az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög hegyesszögű legyen, a hosszabbik \(\displaystyle O_aO_b\) íven lévő metszéspontot kell választanunk. Az így megszerkesztett \(\displaystyle O_aO_bO_c\) hegyesszögű háromszög magasságvonalait megszerkesztve megkapjuk annak \(\displaystyle ABC\) talpponti háromszögét.

Ha a megoldás során megfogalmazott szükséges feltételek teljesülnek, akkor ilyen módon egyértelműen megszerkeszthetjük az \(\displaystyle ABC\) háromszöget, amely egyben megoldása is lesz a feladatnak. Valóban, ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög a hegyesszögű \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög talpponti háromszöge, akkor az \(\displaystyle O_a, O_b, O_c\) pontok éppen az \(\displaystyle ABC\) háromszög hozzáírt köreinek középpontjai. Az \(\displaystyle O_aO_bO_c\) háromszög Feuerbach-köre áthalad a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle F\) pontokon, sugara megegyezik a \(\displaystyle k\) körével. Ezért meg kell egyezzen a \(\displaystyle k\) körrel, hiszen annak középpontja az \(\displaystyle O_aO_b\) egyenesnek \(\displaystyle O_c\)-t tartalmazó oldalára esik. Ebből pedig következik, hogy \(\displaystyle k\) tényleg az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör.

Statistics:

69 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Biri Eszter Daniela, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Maga Balázs, Mester Márton, Schwarcz Tamás, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
3 points:	44 students.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012