A B. 4446. feladat (2012. április)

B. 4446. Egy n×n-es négyzetrácsban hány négyzetet jelölnek ki a rácspontok?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden egyes rácsnégyzet belefoglalható egy legkisebb olyan rácsnégyzetbe, melynek oldalai párhuzamosak a rácstengelyekkel. Ez a rácsnégyzet vagy egybeesik az eredetivel, vagy pedig minden oldalára az eredeti négyzetnek pontosan egy csúcsa esik. Megfordítva, ha kiválasztunk egy k×k-as tengelypárhuzamos rácsnégyzetet, abba pontosan k darab rácsnégyzet írható a fenti értelemben. Mivel az n×n-es négyzetrácsban minden 1 $\le$ k $\le$ n-1 esetén (n-k)² darab k×k-as tengelypárhuzamos rácsnégyzet jelölhető ki, a rácspontok összesen

$\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)^2k=\sum_{k=1}^{n-1}k^2(n-k)= n\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\sum_{k=1}^{n-1}k^3=$

$=n\left(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)-\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2=$

$=\frac{n^2(n-1)}{12}\Bigl( (4n-2)-(3n-3) \Bigr) =\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

négyzetet jelölnek ki.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Árkos Gergely, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Papp Roland, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Zahemszky Péter, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.

3 pontot kapott: Ágoston Péter, Babik Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Maga Balázs, Makk László, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Tatár Dániel.

2 pontot kapott: 10 versenyző.

1 pontot kapott: 27 versenyző.

0 pontot kapott: 15 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

93 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Árkos Gergely, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Papp Roland, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Zahemszky Péter, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 pontot kapott:	Ágoston Péter, Babik Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Maga Balázs, Makk László, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Tatár Dániel.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	27 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?