A B. 4459. feladat (2012. május)

B. 4459. Jelölje x>1-re A(x) az x-nél kisebb, pozitív négyzetmentes számok reciprokainak összegét, B(x) pedig az x-nél kisebb, pozitív nem-négyzetmentes számok reciprokainak összegét. Bizonyítsuk be, hogy A(x)>B(x).

Javasolta: Maga Péter

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen n egy pozitív nem-négyzetmentes szám. Ekkor egyértelműen létezik egy 1-nél nagyobb, de $\sqrt{n}$ -nél nem nagyobb k egész szám és egy m pozitív négyzetmentes szám úgy, hogy n=k²m. Megfordítva, egy k²m alakú szám, ahol m pozitív négyszetmentes szám, k pedig 1-nél nagyobb egész szám, mindig pozitív nem-négyzetmentes szám lesz. Ennélfogva felírható, hogy

$B(x)=\sum_{k=2}^N \frac{1}{k^2}A\left(\frac{x}{k^2}\right),$

ahol N $\ge$ 1 a $\sqrt{x}$ -nél kisebb egész számok közül a legnagyobbat jelöli. Felhasználva, hogy 1<y<x esetén 1 $\le$ A(y) $\le$ A(x),

$B(x)\le \sum_{k=2}^N \frac{1}{k^2}A(x)\le \sum_{k=2}^N \frac{1}{k(k-1)}A(x)= \sum_{k=2}^N \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)A(x)=$

$=\left(1-\frac{1}{N}\right)A(x)<A(x).$

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Di Giovanni Márk, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Tossenberger Tamás.

3 pontot kapott: Énekes Tamás.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai

17 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Di Giovanni Márk, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Tossenberger Tamás.
3 pontot kapott:	Énekes Tamás.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?