A B. 4466. feladat (2012. szeptember)

B. 4466. Van-e olyan pozitív n egész szám, amelyre a

(4n²-1)x²-4n²x+n²=0

egyenlet mindkét gyöke véges tizedestört alakban írható fel?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jegyezzük meg, hogy ha n egész szám, akkor 4n²-1 $\ne$ 0, vagyis másodfokú egyenletről van szó. Az egyenlet gyökei a megoldóképlet szerint

$\frac{4n^2\pm \sqrt{16n^4-4n^2(4n^2-1)}}{2(4n^2-1)}= \frac{2n^2\pm n}{(2n-1)(2n+1)},$

vagyis a gyökök

$x_1=\frac{n}{2n-1} \quad \hbox{\rm \'es}\quad x_2=\frac{n}{2n+1}.$

Ha mindkét szám felírható véges tizedestört alakban úgy, hogy a tizedesvessző után csak legfeljebb k számjegy áll, akkor lévén mindkét nevező relatív prím a számlálóhoz, mindkét nevező osztója kell legyen 10^k-nak. Mivel ezek páratlan pozitív számok, mindkettő 5^m alakú kell legyen, ahol m nemnegatív egész szám. Két ilyen szám különbsége viszont nem lehet 2, tehát nincsen ilyen n egész szám.

Statisztika:

274 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czövek Márton, Dinev Georgi, Jákli Aida Karolina, Khayouti Sára, Kovács Balázs Marcell, Nemecskó István, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zahemszky Péter, Zsakó Ágnes.

2 pontot kapott: 127 versenyző.

1 pontot kapott: 57 versenyző.

0 pontot kapott: 64 versenyző.

Nem versenyszerű: 7 dolgozat.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai

274 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czövek Márton, Dinev Georgi, Jákli Aida Karolina, Khayouti Sára, Kovács Balázs Marcell, Nemecskó István, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zahemszky Péter, Zsakó Ágnes.
2 pontot kapott:	127 versenyző.
1 pontot kapott:	57 versenyző.
0 pontot kapott:	64 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?