Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4488. feladat (2012. november)

B. 4488. Mutassuk meg, hogy a 168 nem írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: 3-mal való oszthatóság.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben 168=(p/q)2+(r/s)2 teljesül alkalmas p,q,r,s egész számokkal, ahol q,s\ne0. Ekkor 168(qs)2=(ps)2+(rq)2, ahol qs\ne0, vagyis a ps, rq számok közül legalább az egyik nem 0. Ezen számok legnagyobb közös osztójának négyzetével leosztva kapjuk, hogy alkalmas a,b,c egész számokkal 168c2=a2+b2, ahol a és b relatív prímek. A jobb oldalon álló szám 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad aszerint, hogy az a,b számok között van-e 3-mal osztható vagy sem. A bal oldalon álló szám azonban osztható 3-mal, ami ellentmondás.


Statisztika:

143 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:81 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:18 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:11 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai