Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4506. feladat (2013. január)

B. 4506. Igazoljuk, hogy létezik végtelen sok pozitív egész szám úgy, hogy közülük semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.

Javasolta: Kutas Péter

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: 1. megoldás: Válasszunk ki 2-hatványokat.

2. megoldás: Ha már valahány számot kiválasztottunk, a következő legyen ,,sokkal'' nagyobb, mint az addigiak.

 

1. megoldás. Legyen minden nemnegatív egész n-re xn=22n+1. Megmutatjuk, hogy ezek közül semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k\ge1) számot, ezek x_{n_1}<x_{n_2}<\ldots<x_{n_k}. A számok összege


x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots+x_{n_k}= 2^{2n_1+1}+2^{2n_2+1}+\ldots+2^{2n_k+1}=
2^{2n_1+1}\big(1+2^{2(n_2-n_1)}+\ldots+2^{2(n_k-n_1)}\big).

Az utolsó szorzatban a 22n1+1 tényező a 2-nek páratlan kitevőjű hatványa, a másik tényező pedig páratlan, ezért a szorzatuk nem lehet négyzetszám.

2. megoldás. A keresett y_1<y_2<\ldots< számokat rekurzívan adjuk meg. Legyen y1=2. Ha az y_1<\ldots<y_n számokat már definiáltuk, akkor legyen y_{n+1} =
(y_1+\ldots+y_n)^2+1.

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k\ge1) számot, ezek y_{n_1}<y_{n_2}<\ldots<y_{n_k}. Legyen S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k}; azt kell ellenőriznünk, hogy S nem négyzetszám.

Ha nk=1, az csak úgy lehet, ha k=1 és S=y1=2, ami nem négyzetszám.

Ha nk\ge2, akkor a sorozat definíciója alapján


S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k} \ge y_{n_k} > (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2

és


S \le y_1+\ldots+y_{n_k} =
(y_1+\ldots+y_{n_k-1}) + (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2+1 <
(y_1+\ldots+y_{n_k-1}+1)^2.

Az S két szomszédos négyzetszám közé esik, ő maga nem lehet négyzetszám.


Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:92 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai