Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4515. feladat (2013. február)

B. 4515. Zseton bedobása után a játékautomata feldob egy szabályos játékkockát, majd megmutatja a dobás eredményét. Ezután választhatunk: vagy felvesszük a nyereményt - ami a dobott szám értékének 100-szorosa - és a játék véget ér, vagy újabb zsetont dobunk az automatába. Az utóbbi esetben a gép ismét dob, és a nyeremény a két dobott szám szorzatának a 100-szorosa. A játék legkésőbb a második dobás után véget ér. Legalább mennyi legyen a zseton ára, hogy az automata üzemeltetőjének hosszú távon nyeresége legyen?

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük Z-vel egy zseton árát. Megmutatjuk, hogy

(a) Z\le660 esetén van olyan stratégia, amire a játékos várható nyereménye (levonva a felhasznált zsetonok árát) nemnegatív;

(b) Z>660 esetén az üzemeltető várható haszna a játékos tetszőleges stratégiája esetén pozitív.

Az első dobás értékét jelöljük x-szel. A játékos stratégiája minden esetben a következő alakú: az első dobás értékétől függően px valószínűséggel újra dob, illetve 1-px valószínűséggel megáll, és felveszi a nyereményt.

Ha megáll, akkor az egyenlege 100x-Z. Ha újra dob, akkor a második dobás feltételes várható értéke \frac72, a feltételes várható nyeremény tehát x\cdot\frac72\cdot100=350x, de 2Z értékű zsetont használ fel. Ha tehát az első dobás, x ismert, akkor a játékos várható egyenlege (a nyeremény, kivonva a zsetonok árát):

E(egyenleg | x)=(1-px)(100x-Z)+px(350x-2Z)=100x-Z+px(250x-Z).

Mivel az x=1,2,3,4,5,6 esetek mindegyikének \frac16 a valószínűsége, a játékos várható egyenlege a teljes játékban tehát


E({\rm egyenleg}) = 
\frac16\sum_{x=1}^6\Big(100x-Z + p_x(250x-Z)\Big) =
350-Z + \frac16\sum_{x=1}^6 p_x(250x-Z).  (*)

(a) Tegyük fel, hogy a játékos stratégiája a következő: ha az első dobás 1 vagy 2, akkor mindig megáll, x\ge3 esetén pedig mindig újra dob, vagyis p1=p2=0 és p3=p4=p5=p6=1. Ebben az esetben (*) így alakul:


E({\rm egyenleg}) = 
350-Z + \frac16\sum_{x=3}^6 (250x-Z)
= 1100 - \frac53Z = \frac53(660-Z).

Ezzel a stratégiával tehát a játékos várható egyenlege Z\le660 esetén nemnegatív.

(b) Most pedig megmutatjuk, hogy Z>660 esetén a játékos várható egyenlege az p1,...,p6 valószínűségek tetszőleges megválasztása esetén negatív. A (*) képletben Z mindig negatív előjellel szerepel, ezért a kifejezés értékét növeljük, ha Z helyére mindenhol 660-at írunk:


E({\rm egyenleg}) <
350-660 + \frac16\sum_{x=1}^6 p_x(250x-660) =


= -310 +\frac{-410p_1 -160p_2 +90p_3 + 340p_4 +590p_5 + 840p_6}{6}.

A p1 és p2 előjele negatív, ezeket 0-val becsüljük. A p3p4p5p6 előjele pozitív, ezeket a valószínűségeket 1-gyel becsüljük.


E({\rm egyenleg}) < -310 +\frac{-410\cdot0-160\cdot0+90\cdot1+340\cdot1+59\cdot1+840\cdot1}{6} = 0.

Tehát az üzemeltetőnek Z értékét 660-nál nagyobbnak érdemes választania.

Megjegyzés: Sokan félreértették a feladatot. Ők úgy tekintették, mintha 1/2 valószínűséggel lenne 2. dobás, 1/2 valószínűséggel pedig nem - holott ezt a játékos maga dönti el. Ők 0 pontot kaptak.


Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Czipó Bence, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kacz Dániel, Kátay Tamás, Katona Dániel, Khayouti Sára, Kutasi Kristóf, Leitereg Miklós, Lőrinczy Zsófia Noémi, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nemes György, Németh Gergely, Osváth Tibor Attila, Sal Kristóf, Somogyvári Kristóf, Szabó 262 Lóránt, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Vályi András, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:Badacsonyi István András, Csernák Tamás, Juhász Kristóf, Szabó 789 Barnabás.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:53 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai