Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4517. feladat (2013. február)

B. 4517. Az O középpontú egység sugarú XY negyedköríven felvettük az A\neB belső pontokat. Az A, B pontokon át az OX egyenessel húzott párhuzamosok az OY sugarat az AY, BY pontokban, az OY egyenessel húzott párhuzamosok az OX sugarat az AX, BX pontokban metszik. Határozzuk meg az AAXBXB és AAYBYB négyszögek területének összegét az AB szakasz hosszának függvényében.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budapest, Brisbane)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Használjunk szögfüggvényeket.

 

Megoldás. Legyen AOA_X\sphericalangle=\alpha, BOB_X\sphericalangle=\beta. Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordinátarendszerben az ábra szerint, vizsgáljuk azt az esetet, amikor \beta\ge\alpha.

Az AAXBXB és a AAYBYB négyszög is trapéz. A területük összege


t_{AA_XB_XB} + t_{AA_YB_YB} =
\tfrac12 (AA_X+BB_X)\cdot A_XB_X + \tfrac12 (AA_Y+BB_Y)\cdot A_YB_Y =


= \tfrac12 (\sin\alpha+\sin\beta) \cdot (\cos\alpha-\cos\beta)
+ \tfrac12 (\cos\alpha+\cos\beta) \cdot (\sin\beta-\sin\alpha) =

=cos \alphasin \beta-sin \alphacos \beta=sin (\beta-\alpha).

Az OAB egyenlő szárú háromszögből látható, hogy


AB = 2 \sin\frac{\beta-\alpha}{2},

amiből


\sin(\beta-\alpha) =
2 \sin\frac{\beta-\alpha}2 \cos\frac{\beta-\alpha}2 =
2 \sin\frac{\beta-\alpha}2 \sqrt{1-\sin^2\frac{\beta-\alpha}2} =
AB\cdot \sqrt{1-\frac{AB^2}4}.

Tehát


t_{AA_XB_XB} + t_{AA_YB_YB} = AB\cdot \sqrt{1-\frac{AB^2}4}.


Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:60 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai