A B. 4524. feladat (2013. március)

B. 4524. A természetes számok halmazán értelmezett f függvényre teljesül az

$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\ldots + n^2f(n)=n^3f(n)$

feltétel, minden n pozitív egészre. Határozzuk meg f(2013) értékét, ha f(1)=2013.

(Erdélyi versenyfeladat)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Írjuk fel a feltételt két szomszédos értékre.

Megoldás. A feltételt n-re és n+1-re is felírva, majd ezeket kivonva egymásból,

f(1)+2²f(2)+3²f(3)+...+n²f(n)=n³f(n)

f(1)+2²f(2)+3²f(3)+...+n²f(n)+(n+1)²f(n+1)=(n+1)³f(n+1)

(n+1)²f(n+1)=(n+1)³f(n+1)-n³f(n)

Ezt átrendezve,

n²f(n)=(n+1)²f(n+1).

Ebből n szerinti indukcióval láthatjuk, hogy n²f(n) konstans, avagy $f(n)=\frac{c}{n^2}$ egy alkalmas c számal. Az f(1)=2013 feltételből kapjuk, hogy c=2013, vagyis

$f(n) = \frac{2013}{n^2}.$

(1)

(*) Ez a függvény valóban teljesíti a feltételeket: f(1)=2013, és

$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\dots + n^2f(n) = n\cdot 2013 = n^3\cdot\frac{2013}{n^2} = n^3f(n).$

Végül az (1) képletbe behelyettesítve n=2013-at,

$f(2013)=\frac1{2013}.$

Megjegyzés. A (*) lépés nélkül a megoldás nem lenne teljes. Előfordulhatna ugyanis, hogy a feltételt semmilyen függvény nem teljesíti.

Ha például a feladatot úgy módosítjuk, hogy a feltételt az f(1)+2²f(2)+...+n²f(n)=n³f(n)+1 összefüggésre cseréljük, akkor ez n=1-re az f(1)=f(1)+1 ellentmondást adja. Ennek ellenére a megoldás többi lépései ugyanígy elmondhatóak, és az $f(2013)=\frac1{2013}$ következtetésre vezetnek, de ez a válasz hibás.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 85 versenyző.

3 pontot kapott: 28 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 14 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai

137 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?