Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4524. feladat (2013. március)

B. 4524. A természetes számok halmazán értelmezett f függvényre teljesül az


f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\ldots + n^2f(n)=n^3f(n)

feltétel, minden n pozitív egészre. Határozzuk meg f(2013) értékét, ha f(1)=2013.

(Erdélyi versenyfeladat)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Írjuk fel a feltételt két szomszédos értékre.

Megoldás. A feltételt n-re és n+1-re is felírva, majd ezeket kivonva egymásból,

f(1)+22f(2)+32f(3)+...+n2f(n)=n3f(n)

f(1)+22f(2)+32f(3)+...+n2f(n)+(n+1)2f(n+1)=(n+1)3f(n+1)

(n+1)2f(n+1)=(n+1)3f(n+1)-n3f(n)

Ezt átrendezve,

n2f(n)=(n+1)2f(n+1).

Ebből n szerinti indukcióval láthatjuk, hogy n2f(n) konstans, avagy f(n)=\frac{c}{n^2} egy alkalmas c számal. Az f(1)=2013 feltételből kapjuk, hogy c=2013, vagyis


f(n) = \frac{2013}{n^2}. (1)

(*) Ez a függvény valóban teljesíti a feltételeket: f(1)=2013, és


f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\dots + n^2f(n) =
n\cdot 2013 = n^3\cdot\frac{2013}{n^2} = n^3f(n).

Végül az (1) képletbe behelyettesítve n=2013-at,

 f(2013)=\frac1{2013}.

Megjegyzés. A (*) lépés nélkül a megoldás nem lenne teljes. Előfordulhatna ugyanis, hogy a feltételt semmilyen függvény nem teljesíti.

Ha például a feladatot úgy módosítjuk, hogy a feltételt az f(1)+22f(2)+...+n2f(n)=n3f(n)+1 összefüggésre cseréljük, akkor ez n=1-re az f(1)=f(1)+1 ellentmondást adja. Ennek ellenére a megoldás többi lépései ugyanígy elmondhatóak, és az f(2013)=\frac1{2013} következtetésre vezetnek, de ez a válasz hibás.


Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:85 versenyző.
3 pontot kapott:28 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai