Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4529. feladat (2013. március)

B. 4529. Legyen n pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy

\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =n\cdot \binom{2n}{n}.

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötletek: 1. Milyen kombinatorikus jelentése lehet a két oldalnak? 2. Bizonyítsunk indukcióval, vagy alakítsuk a kifejezést teleszkópos összeggé.

Megoldás.

\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} = \sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[ (n+i)\cdot\binom{2n}{n-i}-(n-i)\cdot\binom{2n}{n-i} \Bigg] + 2n\cdot\binom{2n}{0} =

= \sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[ 2n\cdot\binom{2n-1}{n-i}-2n\cdot\binom{2n-1}{n-i-1}\Bigg] + 2n\cdot\binom{2n-1}{0} =

= 2n\cdot\Bigg( \bigg[\binom{2n-1}{n-1}-\binom{2n-1}{n-2}\bigg]+ \bigg[\binom{2n-1}{n-2}-\binom{2n-1}{n-3}\bigg]+ \ldots+ \bigg[\binom{2n-1}{1}-\binom{2n-1}{0}\bigg]+ \binom{2n-1}{0}\Bigg) =

= 2n\cdot\binom{2n-1}{n-i} = n\cdot \binom{2n}{n}.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Horváth Hanga Réka, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 101 Dávid Péter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mattia Tiso, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 pontot kapott:Katona Dániel, Lelkes János.
4 pontot kapott:1 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai