A B. 4560. feladat (2013. szeptember)

B. 4560. Ikozapolisz városában az úthálózat gráfja egy ikozaéder élhálózatának gráfjával egyezik meg. Jorgosz szállása az ikozaéder egyik csúcsában található, míg kedvenc színháza az ezzel szemközti csúcsban. Sötétedés után a színházból hazafelé menet minden egyes csúcsba érve elbizonytalanodik, hogy merre is haladjon tovább. Tegyük fel, hogy minden csúcsban p annak a valószínűsége, hogy találkozik valakivel, aki mutat neki egy olyan irányt, amerre elindulva a legkevesebb élen haladva a szállására juthat. Ellenkező esetben véletlenszerűen halad tovább úgy, hogy egyik irány sincs kitüntetve, vagyis előfordulhat akár az is, hogy visszafordul. Mekkora p érték esetén lesz 50% annak a valószínűsége, hogy előbb ér a szállásra, minthogy a színházba visszatalálna?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szempontjából az úthálózat gráfjának csúcsai - a kezdeti és végállapoton kívül - kétfélék lehetnek: vagy a színházzal (kiindulási helyzet), vagy pedig a szállással (cél) szomszédosak. Az első esetben 1-es, a másodikban 2-es állapotról beszélünk. A kiindulási helyzetből 1 valószínűséggel közeledik Jorgosz a célhoz, ezért a kezdeti állapotból és az 1-es állapotból ugyanakkora a célba érés valószínűsége. Az 1-es helyzetből egy él visszavisz, kettő ugyanabba az állapotba visz, kettő előre visz a 2-es állapotba. A 2-es állapotból két él ugyanabba az állapotba visz, kettő visszavisz az 1-es állapotba, egy pedig a célba vezet. Ha az 1-es állapotból a célba érés valószínűsége \(\displaystyle x\), a 2-esből \(\displaystyle y\), akkor felírhatók az alábbi egyenletek:

\(\displaystyle x =\left(\frac15\cdot 0+\frac25 x+\frac25 y\right)(1-p)+py,\)

\(\displaystyle y =p\cdot 1+ \left(\frac15\cdot 1+\frac25 x+\frac25 y\right)(1-p).\)

A feltétel szerint \(\displaystyle x=\frac12\), eszerint a 2. egyenlet:

\(\displaystyle y =p+\frac25 (1-p)+(1-p)\frac25 y, \quad\text{amiből}\quad y= %\frac{\lfrac25 +\lfrac35 p}{\lfrac25 p+\lfrac35} = \frac{3p+2}{2p+3}. \)

Az első egyenletbe behelyettesítve \(\displaystyle x\)-et és \(\displaystyle y\)-t:

\(\displaystyle \frac12 =(1-p) \left(\frac15+\frac25\cdot\frac{3p+2}{2p+3}\right) +\frac{3p^2+2p}{2p+3},\)

\(\displaystyle 10p+15 =(1-p) \big(4p+6+4(3p+2)\big)+30p^2+20p, \)

\(\displaystyle 10p+15 =16p+14-16p^2-14p+30p^2+20p, \)

\(\displaystyle 0 =14p^2+12p-1.\)

A két megoldás közül csak a pozitív megoldás jó, mert a valószínűség 0 és 1 közötti szám:

\(\displaystyle p=\frac{-12+\sqrt{12^2+4\cdot14}}{28}=\frac{-6+5\sqrt2}{14}\approx 0{,}0765. \)

Tehát ha \(\displaystyle p\approx 0{,}0765\), akkor 0,5 valószínűséggel eléri Jorgosz a célt.

Kaprinai Balázs (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)

Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Babik Bálint, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kalló Kristóf, Kaprinai Balázs, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 162 Viktória, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Talyigás Gergely, Vályi András, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Nemes György.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai