A B. 4593. feladat (2014. január)

B. 4593. Egy hangya egy 4 m hosszú gumikötél bal végpontjától állandó sebességgel mászik a jobb oldali végpont felé úgy, hogy percenként pontosan egy métert tesz meg. Minden perc eltelte után a bal oldali végén rögzített és vízszintesen fekvő gumikötelet egy méterrel egyenletesen megnyújtjuk. Hányadik percben éri el a hangya a kötél jobb oldali végpontját? A hangyát pontszerűnek tekintjük, a kötél megnyújtására fordított idő elhanyagolható, és a gumikötél akármeddig nyújtható, nem szakad el.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha azt nézzük, hogy egy adott perc alatt a hangya a gumikötél hányad részét tette meg, ez az arány az egyenletes nyújtás során nem változik. Mivel az első percben a kötél hossza 4 m, a megtett út aránya \(\displaystyle \frac{1}{4}\). A második percben a kötél hossza 5 m, az arány \(\displaystyle \frac{1}{5}\) és így tovább, az \(\displaystyle i\)-edik percben \(\displaystyle \frac{1}{i+3}\). Ezeket a törteket összeadva megkapjuk, hányadik percben, a kötél hányad részénél tart éppen a hangya. Amelyik percben az összeg eléri, vagy meghaladja az 1-et, akkor a hangya célba ér.

Mivel

\(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9} =\frac{2509}{2520}<1, \)

viszont

\(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{10} =\frac{2761}{2520}>1, \)

a hangya a 7. percben éri el a kötél jobb oldali végpontját.

Uzonyi Ákos (Budapest, Budai Ciszterci Szent Imre Gimn., 8. évf.),

Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.)

és Hornyák Szabolcs (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	139 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai