A B. 4599. feladat (2014. január)

B. 4599. Oldjuk meg a

sin⁵x+cos⁵x+sin⁴x=2

egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle \sin x\leq1$, $\displaystyle \cos x\leq1$ és $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$ teljesül bármilyen $\displaystyle x$ érték esetén, ezért:

$\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x=\sin^3x\cdot\sin^2x+\cos^3x\cdot\cos^2x+\sin^4x\leq$

$\displaystyle \leq1^3\cdot\sin^2x+1^3\cdot\cos^2x+1^4=1\cdot(\sin^2x+\cos^2x)+1=2.$

Azt kaptuk, hogy $\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x\leq2$, ahol egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $\displaystyle \sin x=1$, vagyis $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\pm2k\pi$, ahol $\displaystyle k\in \Bbb Z$.

Kovács Márton (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 11. évf.)

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mándoki Sára, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy Odett, Osváth Tibor Attila, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Szabó 157 Dániel, Szebellédi Márton, Varga Rudolf, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai