A B. 4603. feladat (2014. február)

B. 4603. Egy egyenes körkúp felszíne A, térfogata V. Igazoljuk, hogy A³72^.V².

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kúp alaplapjának sugara \(\displaystyle r\), a magassága \(\displaystyle m\), az alkotója pedig \(\displaystyle a\). A kúp felszín-, illetve térfogatképlete:

\(\displaystyle A=r^{2} \pi+r \pi a=r \pi(r+a),\qquad V=\frac{r^{2} \pi m}{3}. \)

Ezeket behelyettesítve az igazolandó egyenlőtlenségbe:

\(\displaystyle r^{3}\pi^{3} {(r+a)}^{3}\ge \frac{72\pi r^{4}\pi^{2}m^{2}}{9}. \)

A lehetséges egyszerűsítések után pedig:

\(\displaystyle {(r+a)}^{3} \ge 8r\cdot m^{2}. \)

Pitagorasz tétele alapján tudjuk, hogy \(\displaystyle m^2=a^2-r^2=(a+r)(a-r)\). Ezt beírva egyszerűsíthetünk a pozitív \(\displaystyle (a+r)\)-rel is:

\(\displaystyle {(r+a)}^{2}\ge 8r(a-r). \)

Rendezés után

\(\displaystyle a^{2}+ 2ar+r^{2}\ge 8ar - 8r^{2},\qquad a^{2}-6ar+9r^{2}= {(a-3r)}^2\ge 0. \)

Teljes négyzetet kaptunk, az átalakításaink ekvivalensek voltak, így az eredeti egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha

\(\displaystyle a=3r,\quad m=r\sqrt{8}= 2\sqrt{2}r. \)

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	102 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai