A B. 4603. feladat (2014. február)

B. 4603. Egy egyenes körkúp felszíne A, térfogata V. Igazoljuk, hogy A³72^.V².

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kúp alaplapjának sugara $\displaystyle r$, a magassága $\displaystyle m$, az alkotója pedig $\displaystyle a$. A kúp felszín-, illetve térfogatképlete:

$\displaystyle A=r^{2} \pi+r \pi a=r \pi(r+a),\qquad V=\frac{r^{2} \pi m}{3}.$

Ezeket behelyettesítve az igazolandó egyenlőtlenségbe:

$\displaystyle r^{3}\pi^{3} {(r+a)}^{3}\ge \frac{72\pi r^{4}\pi^{2}m^{2}}{9}.$

A lehetséges egyszerűsítések után pedig:

$\displaystyle {(r+a)}^{3} \ge 8r\cdot m^{2}.$

Pitagorasz tétele alapján tudjuk, hogy $\displaystyle m^2=a^2-r^2=(a+r)(a-r)$. Ezt beírva egyszerűsíthetünk a pozitív $\displaystyle (a+r)$-rel is:

$\displaystyle {(r+a)}^{2}\ge 8r(a-r).$

Rendezés után

$\displaystyle a^{2}+ 2ar+r^{2}\ge 8ar - 8r^{2},\qquad a^{2}-6ar+9r^{2}= {(a-3r)}^2\ge 0.$

Teljes négyzetet kaptunk, az átalakításaink ekvivalensek voltak, így az eredeti egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha

$\displaystyle a=3r,\quad m=r\sqrt{8}= 2\sqrt{2}r.$

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	102 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai