A B. 4622. feladat (2014. április)

B. 4622. Egy \(\displaystyle 3\times 3\)-as táblázat mezőibe úgy írtuk be az \(\displaystyle 1,2,\ldots,9\) számokat, hogy mind a négy \(\displaystyle 2\times 2\)-es négyzeten belül ugyanannyi a számok összege. Mi lehet ez az összeg?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázat mezőit úgy töltöttük ki az \(\displaystyle 1,2,\dots,9\) számokkal, hogy minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle T\) legyen az összeg. Ha az összes szám helyett 5-tel kisebbet írunk, akkor a táblázat mezőiben a \(\displaystyle -4,-3,\dots,4\) számok fognak szerepelni, és minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle S=T-20\) lesz az összeg. Megfordítva, ha a \(\displaystyle -4,-3,\dots,4\) számokat úgy írjuk be, hogy minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle S\) az összeg, akkor minden szám helyett 5-tel nagyobbat írva minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle T=S+20\) lesz az összeg. Határozzuk meg most \(\displaystyle S\) lehetséges értékeit. Ha összeadjuk a \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeteken belüli összegeket, akkor a sarokmezőkbe írt számokat egyszer számoljuk, a középső mezőt (az ide írt szám legyen \(\displaystyle a\)) négyszer, a fennmaradó négy mezőbe írt számokat (legyenek ezek \(\displaystyle b,c,d,e\)) pedig kétszer. Mivel az összes szám összege 0, ezért \(\displaystyle 4S=3a+b+c+d+e\leq 3\cdot 4+3+2+1+0=18\), és így \(\displaystyle S\leq 4\). Mivel minden számot az ellentettjére cserélve egy olyan kitöltést kapunk, ahol minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül ellentettjére változik a közös összeg, ezért ebből egyrészt \(\displaystyle -4\leq S\leq 4\) következik, másrészt ahhoz, hogy minden \(\displaystyle [-4,4]\)-beli egész számot meg is kaphatunk elég ezt \(\displaystyle S=0,1,2,3,4\) esetén igazolnunk. Ez az 5 érték valóban lehetséges, amint azt a következő kitöltések mutatják:

Tehát \(\displaystyle S\) értéke \(\displaystyle [-4,4]\)-beli egész szám lehet, vagyis a kérdéses összeg értéke \(\displaystyle 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\) lehet.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai