A B. 4622. feladat (2014. április)

B. 4622. Egy $\displaystyle 3\times 3$-as táblázat mezőibe úgy írtuk be az $\displaystyle 1,2,\ldots,9$ számokat, hogy mind a négy $\displaystyle 2\times 2$-es négyzeten belül ugyanannyi a számok összege. Mi lehet ez az összeg?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a $\displaystyle 3\times3$-as táblázat mezőit úgy töltöttük ki az $\displaystyle 1,2,\dots,9$ számokkal, hogy minden $\displaystyle 2\times2$-es négyzeten belül $\displaystyle T$ legyen az összeg. Ha az összes szám helyett 5-tel kisebbet írunk, akkor a táblázat mezőiben a $\displaystyle -4,-3,\dots,4$ számok fognak szerepelni, és minden $\displaystyle 2\times2$-es négyzeten belül $\displaystyle S=T-20$ lesz az összeg. Megfordítva, ha a $\displaystyle -4,-3,\dots,4$ számokat úgy írjuk be, hogy minden $\displaystyle 2\times2$-es négyzeten belül $\displaystyle S$ az összeg, akkor minden szám helyett 5-tel nagyobbat írva minden $\displaystyle 2\times2$-es négyzeten belül $\displaystyle T=S+20$ lesz az összeg. Határozzuk meg most $\displaystyle S$ lehetséges értékeit. Ha összeadjuk a $\displaystyle 2\times2$-es négyzeteken belüli összegeket, akkor a sarokmezőkbe írt számokat egyszer számoljuk, a középső mezőt (az ide írt szám legyen $\displaystyle a$) négyszer, a fennmaradó négy mezőbe írt számokat (legyenek ezek $\displaystyle b,c,d,e$) pedig kétszer. Mivel az összes szám összege 0, ezért $\displaystyle 4S=3a+b+c+d+e\leq 3\cdot 4+3+2+1+0=18$, és így $\displaystyle S\leq 4$. Mivel minden számot az ellentettjére cserélve egy olyan kitöltést kapunk, ahol minden $\displaystyle 2\times2$-es négyzeten belül ellentettjére változik a közös összeg, ezért ebből egyrészt $\displaystyle -4\leq S\leq 4$ következik, másrészt ahhoz, hogy minden $\displaystyle [-4,4]$-beli egész számot meg is kaphatunk elég ezt $\displaystyle S=0,1,2,3,4$ esetén igazolnunk. Ez az 5 érték valóban lehetséges, amint azt a következő kitöltések mutatják:

Tehát $\displaystyle S$ értéke $\displaystyle [-4,4]$-beli egész szám lehet, vagyis a kérdéses összeg értéke $\displaystyle 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24$ lehet.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai