A B. 4623. feladat (2014. április)

B. 4623. Egy konvex négyszögben az átlók négy olyan háromszöget határoznak meg, amelyek területe egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ennek a négy egésznek a szorzata nem végződhet 2014-re.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a két-két szemközti háromszög területének szorzata egyenlő. Jelölje a hároszögek területét az ábra szerint $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$, $\displaystyle T_3$ és $\displaystyle T_4$. A háromszögeknek az egyik átlóhoz tartozó magasságai legyenek $\displaystyle m_1$ és $\displaystyle m_2$, ennek az átlónak az átlók metszéspontja által meghatározott szakaszai pedig legyenek $\displaystyle e_1$ és $\displaystyle e_2$.

Ekkor

$\displaystyle 2\,T_1=e_1m_1, \quad 2\,T_2=e_2m_1,$

$\displaystyle 2\,T_3=e_2m_2 \quad \text{és} \quad 2\,T_4=e_1m_2,$

tehát

$\displaystyle T_1T_3=\frac{e_1e_2m_1m_2}{4}=T_2T_4.$

Ezért $\displaystyle T_1T_2T_3T_4= {(T_1T_3)}^2$, vagyis a négy terület szorzata négyzetszám. Tudjuk, hogy a négyzetszámok 4-gyel osztva $\displaystyle 0$ vagy $\displaystyle 1$ maradékot adnak. Mivel a számok 4-es maradéka csak az utolsó két számjegyüktől függ, ezért ha egy szám $\displaystyle 2014$-re végződik, akkor a 4-es maradéka megegyezik a $\displaystyle 14$-nek a 4-es maradékával, azaz 2-vel. Tehát a területek szorzata nem végződhet $\displaystyle 2014$-re.

Varga Péter (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn. és Szki., 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	105 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai