A B. 4624. feladat (2014. április)

B. 4624. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban jelölje $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ az $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle CD$ alap felezőpontját, $\displaystyle O$ pedig az átlók metszéspontját. Az $\displaystyle OA$, $\displaystyle OE$ és $\displaystyle OB$ szakaszokat egy alapokkal párhuzamos egyenes rendre az $\displaystyle M$, $\displaystyle N$ és $\displaystyle P$ pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle APCN$ és $\displaystyle BNDM$ négyszögek területe egyenlő.

Javasolta: Longáver Lajos (Nagybánya)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyszögeket az $\displaystyle MN$, illetve $\displaystyle NP$ átlók két-két háromszögre bontják, ezért

$\displaystyle T_{APCN} =T_{APN}+T_{PCN} \quad\text{és}$

$\displaystyle T_{BNDM} =T_{BNM}+T_{NDM}.$

Az $\displaystyle MNP$ egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival. Ebből egyrészt a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján

$\displaystyle \frac{MN}{AE}=\frac{NP}{EB}, \quad \text{vagyis} \quad \frac{MN}{NP}=\frac{AE}{EB}$

következik, s mivel $\displaystyle E$ felezi az $\displaystyle AB$ szakaszt, ezért kapjuk, hogy $\displaystyle MN=NP$. Másrészt a párhuzamosság miatt a $\displaystyle PCN$ és $\displaystyle NDM$ háromszögek $\displaystyle C$ illetve $\displaystyle D$, valamint az $\displaystyle APN$ és $\displaystyle BNM$ háromszögek $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$ csúcsaihoz tartozó magasságok is megegyeznek. Ezért

$\displaystyle T_{APN}=T_{BNM} \quad \text{és} \quad T_{PCN}=T_{NDM},$

amiből a feladat állítása következik.

Nagy Odett (Szeged, Radnóti M. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	111 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai