 |
A B. 4628. feladat (2014. április) |
B. 4628. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) egy háromszög szögei, akkor
\(\displaystyle \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ \cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma\le \frac 98. \)
(4 pont)
A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Alakítsuk át a bal oldal négyszeresét a \(\displaystyle \sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}\), a \(\displaystyle \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\), valamint a \(\displaystyle \cos(2x-\pi)=\cos(\pi-2x)\) trigonometrikus azonosságok felhasználásával:
\(\displaystyle 4\sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+4\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ 4\cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma=\)
\(\displaystyle =2\sin\alpha(\sin(\beta+\gamma)+\sin(\beta-\gamma))+2\sin\gamma(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))+2\sin\beta(\sin(\gamma+\alpha)+\sin(\gamma-\alpha))=\)
\(\displaystyle =\cos(\alpha-(\beta+\gamma))-\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\alpha-(\beta-\gamma))-\cos(\alpha+(\beta-\gamma))+\)
\(\displaystyle +\cos(\gamma-(\alpha+\beta))-\cos(\gamma+\alpha+\beta)+\cos(\gamma-(\alpha-\beta))-\cos(\gamma+(\alpha-\beta))+\)
\(\displaystyle +\cos(\beta-(\gamma+\alpha))-\cos(\beta+\gamma+\alpha)+\cos(\beta-(\gamma-\alpha))-\cos(\beta+(\gamma-\alpha))=\)
\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)-3\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\pi-2\gamma)+\cos(\pi-2\beta)=\)
\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)-3\cos(\pi)=\)
\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)+3.\)
Erről kell belátni, hogy értéke legfeljebb \(\displaystyle 4\cdot\frac98\), ami ekvivalens azzal, hogy
\(\displaystyle \cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)\leq\frac32.\)
Mivel \(\displaystyle \cos(\pi- x)=-\cos x\), ez ekvivalens a következővel:
\(\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.\)
Legyenek \(\displaystyle \underline{u}\), \(\displaystyle \underline{v}\) és \(\displaystyle \underline{z}\) egy pontból kiinduló egységvektorok, melyekre teljesül, hogy az \(\displaystyle \underline{u}\) és a \(\displaystyle \underline{v}\), a \(\displaystyle \underline{v}\) és a \(\displaystyle \underline{z}\), illetve a \(\displaystyle \underline{z}\) és az \(\displaystyle \underline{u}\) által bezárt szögek rendre \(\displaystyle 2\alpha\), \(\displaystyle 2\beta\), illetve \(\displaystyle 2\gamma\). Ekkor
\(\displaystyle (\underline{u}+\underline{v}+\underline{z})^2\geq0,\)
amiből
\(\displaystyle \underline{u}^2+\underline{v}^2+\underline{z}^2+2(\underline{uv}+\underline{vz}+\underline{zu})\geq0,\)
vagyis
\(\displaystyle 3+2\cos(2\alpha)+2\cos(2\beta)+2\cos(2\gamma)\geq0,\)
és így
\(\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.\)
Ezzel a bizonyítást befejeztük. Egyenlőség csak akkor van, ha \(\displaystyle 2\alpha=2\beta=2\gamma=120^{\circ}\), vagyis a háromszög szabályos.
Statisztika:
60 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Heinc Emília, Kovács 972 Márton, Lengyel Ádám, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Olexó Gergely, Öreg Botond, Páli Petra, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Ratkovics Gábor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Sütő Máté, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Vágó Ákos, Varga Rudolf, Vu Mai Phuong, Williams Kada, Zsakó Ágnes. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai