A B. 4674. feladat (2014. december)

B. 4674. Az $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt körön, a $\displaystyle B$ csúcsot nem tartalmazó $\displaystyle AC$ íven egy $\displaystyle X$ pont mozog. Jelölje rendre $\displaystyle Y$ és $\displaystyle Z$ a $\displaystyle BA$, illetve $\displaystyle BC$ oldal $\displaystyle A$-n, illetve $\displaystyle C$-n túli meghosszabbításán azt a pontot, amelyre $\displaystyle AY=AX$ és $\displaystyle CZ=CX$. Mi az $\displaystyle YZ$ szakasz felezőpontjának mértani helye?

Javasolta: Pozsonyi Enikő (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Keressünk olyan egybevágósági transzformációt, ami $\displaystyle Y$-t a $\displaystyle Z$-be viszi.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle YZ$ szakasz felezőpontja $\displaystyle F$. Jelölje az $\displaystyle A$ és $\displaystyle Y$ pontok $\displaystyle F$-re vonatkozó tükörképét $\displaystyle A'$ és $\displaystyle Y'$. Ekkor $\displaystyle Y'\equiv Z$. Mivel bármely szakasz párhuzamos a középpontos tükörképével, ezért $\displaystyle A'Z$ párhuzamos $\displaystyle AY$-nal, s így $\displaystyle AB$-vel (1. ábra). Ezért ha az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle B$-nél lévő szöge $\displaystyle \beta$, akkor $\displaystyle A'ZB\sphericalangle = {180^{\circ}-\beta}$. Az $\displaystyle ABCX$ négyszög húrnégyszög, ezért $\displaystyle AXC\sphericalangle =180^{\circ}-ABC\sphericalangle = {180^{\circ}-\beta}$. Tehát az $\displaystyle AXC$ és az $\displaystyle A'ZC$ háromszögek egybevágóak, mert megegyezik egy szögük és az azt közrefogó két oldaluk, hiszen $\displaystyle AX=AY=A'Z$ és $\displaystyle CX=CZ$. Vagyis $\displaystyle AC=A'C$, azaz a $\displaystyle CA'A$ háromszög egyenlőszárú. Ezért alapjának $\displaystyle F$ felezőpontját a $\displaystyle C$ csúccsal összekötő egyenes az alap felezőmerőlegese, vagyis $\displaystyle CF$ merőleges $\displaystyle FA$-ra. Tehát Thalész tételének megfordítása szerint $\displaystyle F$ rajta van az $\displaystyle AC$ szakasz $\displaystyle k$ Thalész-körén.

1. ábra                                                                       2. ábra

Meg kell még vizsgálnunk, hogy $\displaystyle k$ mely pontjai állnak elő az $\displaystyle YZ$ szakaszok felezőpontjaként. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$-nál, illetve $\displaystyle C$-nél lévő szöge $\displaystyle \alpha$, illetve $\displaystyle \gamma$. Az $\displaystyle X$ pont két szélső helyzete $\displaystyle X_1\equiv A$ és $\displaystyle X_2\equiv C$. Az első esetben $\displaystyle Y_1\equiv A$ és $\displaystyle F_1$ a $\displaystyle CZ_1A$ egyenlőszárú háromszög $\displaystyle Z_1A$ alapjának felezőpontja. Mivel $\displaystyle Z_1CA\sphericalangle =180^{\circ}-\gamma$, ezért $\displaystyle F_1CA\sphericalangle =90^{\circ}-\gamma /2$. Ugyanígy kapjuk, hogy ha $\displaystyle X_2\equiv C$, akkor $\displaystyle F_2AC\sphericalangle =90^{\circ}-\alpha /2$ (2. ábra). Ha $\displaystyle k$ középpontja ($\displaystyle AC$ felezőpontja) $\displaystyle K$, akkor az $\displaystyle F_1KC$ és az $\displaystyle F_2KA$ egyenlőszárú háromszögekből azt kapjuk, hogy

$\displaystyle F_1KC\sphericalangle =180^{\circ}- 2\cdot F_1CA\sphericalangle = 180^{\circ}- 2\cdot \left(90^{\circ}-\frac{\gamma }{2}\right) =\gamma,$

és ugyanígy $\displaystyle F_2KA\sphericalangle =\alpha$, ezért $\displaystyle F_1KF_2\sphericalangle = 180^{\circ}-(\gamma +\alpha )=\beta$.

Ha $\displaystyle X$ folytonosan mozog $\displaystyle A$-ból $\displaystyle C$-be, akkor $\displaystyle F$ is nyilván folytonosan mozog $\displaystyle F_1$-ből $\displaystyle F_2$-be. Tehát a keresett mértani hely az $\displaystyle AC$ szakasz Thalész körének a $\displaystyle \beta$ középponti szögű $\displaystyle F_1F_2$ íve.

Kocsis Júlia (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gáspár Attila, Katona Dániel, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Kovács Péter Tamás, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Vághy Mihály, Varga-Umbrich Eszter, Wei Cong Wu, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Németh 123 Balázs, Szakács Lili Kata.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai