A B. 4676. feladat (2014. december)

B. 4676. A számegyenesen egy bolha ugrál. A $\displaystyle 0$-ból indul, minden ugrásának hossza 1, és a következő ugrás mindig $\displaystyle p$ valószínűséggel az előzővel egyező, $\displaystyle {1-p}$ valószínűséggel pedig ellentétes irányú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy visszajut a 0-ba?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük $\displaystyle q$-val annak a valószínűségét, hogy a bolha visszajut a 0-ba. A szimmetria miatt feltételezhetjük, hogy pozitív irányba indul el. Jelöljük $\displaystyle r$-rel annak a valószínűségét, hogy az 1-ből eljut a 0-ba, ha az 1-re a 2-ből érkezett.

Ha $\displaystyle p=1$, akkor $\displaystyle q=0$, biztos, hogy a bolha nem tér vissza a 0-ba.

Tegyük fel mostantól, hogy $\displaystyle p\ne1$. Az első ugrás után feltevésünk szerint a bolha az 1-ben van, innen $\displaystyle 1-p$ valószínűséggel egyből visszaugrik a 0-ba, $\displaystyle p$ valószínűséggel pedig tovább a 2-re. Utóbbi esetben annak a valószínűsége, hogy a bolha visszatér az 1-be, szintén $\displaystyle q$. Ilyenkor az 1-be a 2-ből érkezik, így annak a valószínűsége, hogy ezután eljut a 0-ba $\displaystyle r$. Ezért az alábbi egyenlet írható fel:

Most keressünk ehhez hasonló egyenletet $\displaystyle r$-re is. Miután az 1-be a 2-ből érkezett, $\displaystyle p$ valószínűséggel továbbugrik a 0-ba, $\displaystyle 1-p$ valószínűséggel pedig visszaugrik a 2-re. Innen az előzőekhez hasonlóan $\displaystyle q$ valószínűséggel jut vissza az 1-re és onnan $\displaystyle r$ valószínűséggel jut el a 0-ba, ezért

A két egyenletet összeadva

$\displaystyle r+q=qr+1,$

amiből átrendezés és szorzattá alakítás után a

$\displaystyle 0=(1-q)(1-r)$

összefüggést kapjuk. Ez az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle r=1$ vagy $\displaystyle q=1$. Ha $\displaystyle r=1$, akkor (2)-be behelyettesítve

$\displaystyle 1=p+(1-p)q,$

és így

$\displaystyle (1-p)(1-q)=0.$

Mivel $\displaystyle p\ne1$, azért $\displaystyle q=1$, vagyis $\displaystyle q=1$-nek mindenképpen teljesülnie kell.

Tehát ha $\displaystyle p\ne1$, akkor 1 valószínűséggel visszajut a 0-ba, $\displaystyle p=1$ esetén viszont biztos, hogy nem jut vissza.

Gáspár Attila (Miskolc, Földes F. Gimn., 9. évf.)

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Alexy Marcell, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Horváth Miklós Zsigmond, Katona Dániel, Kovács 246 Benedek, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Szakály Marcell, Zsakó Ágnes.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai