 |
A B. 4676. feladat (2014. december) |
B. 4676. A számegyenesen egy bolha ugrál. A \(\displaystyle 0\)-ból indul, minden ugrásának hossza 1, és a következő ugrás mindig \(\displaystyle p\) valószínűséggel az előzővel egyező, \(\displaystyle {1-p}\) valószínűséggel pedig ellentétes irányú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy visszajut a 0-ba?
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük \(\displaystyle q\)-val annak a valószínűségét, hogy a bolha visszajut a 0-ba. A szimmetria miatt feltételezhetjük, hogy pozitív irányba indul el. Jelöljük \(\displaystyle r\)-rel annak a valószínűségét, hogy az 1-ből eljut a 0-ba, ha az 1-re a 2-ből érkezett.
Ha \(\displaystyle p=1\), akkor \(\displaystyle q=0\), biztos, hogy a bolha nem tér vissza a 0-ba.
Tegyük fel mostantól, hogy \(\displaystyle p\ne1\). Az első ugrás után feltevésünk szerint a bolha az 1-ben van, innen \(\displaystyle 1-p\) valószínűséggel egyből visszaugrik a 0-ba, \(\displaystyle p\) valószínűséggel pedig tovább a 2-re. Utóbbi esetben annak a valószínűsége, hogy a bolha visszatér az 1-be, szintén \(\displaystyle q\). Ilyenkor az 1-be a 2-ből érkezik, így annak a valószínűsége, hogy ezután eljut a 0-ba \(\displaystyle r\). Ezért az alábbi egyenlet írható fel:
| (1) | \(\displaystyle q=(1-p)+pqr. \) |
Most keressünk ehhez hasonló egyenletet \(\displaystyle r\)-re is. Miután az 1-be a 2-ből érkezett, \(\displaystyle p\) valószínűséggel továbbugrik a 0-ba, \(\displaystyle 1-p\) valószínűséggel pedig visszaugrik a 2-re. Innen az előzőekhez hasonlóan \(\displaystyle q\) valószínűséggel jut vissza az 1-re és onnan \(\displaystyle r\) valószínűséggel jut el a 0-ba, ezért
| (2) | \(\displaystyle r=p+(1-p)qr. \) |
A két egyenletet összeadva
\(\displaystyle r+q=qr+1, \)
amiből átrendezés és szorzattá alakítás után a
\(\displaystyle 0=(1-q)(1-r) \)
összefüggést kapjuk. Ez az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle r=1\) vagy \(\displaystyle q=1\). Ha \(\displaystyle r=1\), akkor (2)-be behelyettesítve
\(\displaystyle 1=p+(1-p)q, \)
és így
\(\displaystyle (1-p)(1-q)=0. \)
Mivel \(\displaystyle p\ne1\), azért \(\displaystyle q=1\), vagyis \(\displaystyle q=1\)-nek mindenképpen teljesülnie kell.
Tehát ha \(\displaystyle p\ne1\), akkor 1 valószínűséggel visszajut a 0-ba, \(\displaystyle p=1\) esetén viszont biztos, hogy nem jut vissza.
Gáspár Attila (Miskolc, Földes F. Gimn., 9. évf.)
Statisztika:
42 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Alexy Marcell, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Horváth Miklós Zsigmond, Katona Dániel, Kovács 246 Benedek, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Williams Kada. 5 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Szakály Marcell, Zsakó Ágnes. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 17 versenyző.
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai