A B. 4681. feladat (2015. január)

B. 4681. Mekkora a C. 1240. feladatban szereplő ötszög területe?

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A C. 1240. feladat megoldásából (http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=C1240&l=hu) tudjuk, hogy valamennyi szakasz hossza 7 cm.

Jelöljük a szögeket az ábrán látható módon \(\displaystyle \alpha\)-val, \(\displaystyle \beta\)-val és \(\displaystyle \gamma\)-val. Az egybevágóság miatt \(\displaystyle BAE\sphericalangle =CBG\sphericalangle =IHG\sphericalangle =\alpha +\gamma\).

A \(\displaystyle CBGHI\) ötszögben a szögek összege:

\(\displaystyle \alpha + (360^{\circ}-\alpha -\gamma)+\beta +(\alpha +\gamma)+\gamma =3\cdot 180^{\circ}=540^{\circ}, \)

amiből \(\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ}\). Ez azt mutatja, hogy a \(\displaystyle GB\) szakasz párhuzamos a \(\displaystyle HI\) szakasszal, így a \(\displaystyle BGHI\) négyszög rombusz, vagyis a \(\displaystyle BI\) távolság is \(\displaystyle a=7\) cm. Ekkor a \(\displaystyle CBI\) háromszög szabályos, amiből \(\displaystyle \alpha =60^{\circ}\).

Az \(\displaystyle \alpha\) szög értékének ismeretében \(\displaystyle \beta +\gamma =120^{\circ}\), valamint a szabályos háromszög és a rombusz szögeiből az \(\displaystyle I\) pontban \(\displaystyle \gamma =60^{\circ}+\beta\). Ezekből a szögek kiszámíthatók: \(\displaystyle \beta =30^{\circ}\) és \(\displaystyle \gamma =90^{\circ}\).

A rombusz magassága: \(\displaystyle m=a\cdot \sin \beta =\frac{a}{2}\), területe pedig \(\displaystyle T_{R}=a\cdot m=\frac{a^{2}}{2}\). A \(\displaystyle CBI\) háromszög területe: \(\displaystyle T_{H}=\frac{\sqrt 3}{4}a^{2}\). A teljes \(\displaystyle CBGHI\) ötszög területe így:

\(\displaystyle T=T_{R}+T_{H}=\frac{2+\sqrt 3}{4}a^{2}\approx 45{,}72~{\rm cm}^{2}. \)

Adorján Dániel (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) és Katona Dániel (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn. 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai