Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4715. feladat (2015. május)

B. 4715. Adjuk meg az összes pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a,b)\) számpárt, amelyre \(\displaystyle a^{(b^2)}=b^a\) teljesül.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Lemma. Ha \(\displaystyle x,\,y\in \Bbb Q^+\) és \(\displaystyle z\in \Bbb Z^+\), valamint \(\displaystyle x=z^y\), akkor \(\displaystyle x\) egész.

Bizonyítás. \(\displaystyle x,\,y\) racionális, így létezik \(\displaystyle p,\,q,\,r,\,s\in\Bbb Z^+\) és \(\displaystyle (p,q)=(r,s)=1\), amire \(\displaystyle x=\frac pq\) és \(\displaystyle y=\frac rs\) (a legegyszerűbb törtalak). Ha \(\displaystyle \frac pq=z^{\frac rs}\), akkor \(\displaystyle \left(\frac pq\right)^s=z^r\), így \(\displaystyle p^s=q^sz^r\), ami csak akkor lehet, ha \(\displaystyle q=1\), máskülönben a jobb oldal osztható lenne \(\displaystyle q^s\)-nel, a bal oldal, \(\displaystyle p^s\) pedig nem, mert \(\displaystyle (p,q)=1\) volt. Tehát \(\displaystyle q=1\), így \(\displaystyle x\) egész.

\(\displaystyle a^{b^2}=b^a\) (\(\displaystyle a,\,b\in \Bbb Z^+\)) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=b^{\frac{a}{b^2}}\). Legyen \(\displaystyle c=\frac{a}{b^2}\Leftrightarrow a=cb^2\). Ekkor \(\displaystyle a=b^{\frac{a}{b^2}} \Leftrightarrow cb^2=b^c \Leftrightarrow c=b^{c-2}\). Mivel \(\displaystyle b\in \Bbb Z^+\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c-2\in \Bbb Q^+\), így a Lemma szerint \(\displaystyle c\) egész szám.

A Bernoulli-egyenlőtlenség felhasználásával

\(\displaystyle b^{c-2}=\left((b-1)+1\right)^{c-2}>(b-1)(c-2)+1,\)

ahol szigorú egyenlőtlenség \(\displaystyle c>3\) és \(\displaystyle b>1\) esetén teljesül. Ezt tovább becsülve:

\(\displaystyle (b-1)(c-2)+1\geq2(c-2)+1>c,\)

ahol az első egyenlőtlenség \(\displaystyle b\geq3\) esetén, a második pedig \(\displaystyle c>3\) esetén teljesül.

Tehát \(\displaystyle c>3\) és \(\displaystyle b\geq3\) esetén \(\displaystyle b^{c-2}>c\).

Mivel \(\displaystyle c,\, b\in \Bbb Z^+\), ezért csak azokat az eseteket kell megvizsgálni, ahol \(\displaystyle c=1,\,2,\,3\) és \(\displaystyle b=1,\,2\).

Ha \(\displaystyle b=1\), akkor \(\displaystyle a=1\).

Ha \(\displaystyle b=2\), akkor \(\displaystyle a^4=2^a\), vagyis \(\displaystyle a\) egy 2-hatvány, legyen \(\displaystyle a=2^d\) (\(\displaystyle d\geq0\)). Ekkor

\(\displaystyle a^4=2^a\Leftrightarrow 2^{4d}=2^{2^d}\Leftrightarrow d=2^{d-2}.\)

Ennek \(\displaystyle d=0,\,1,\,2\) nem megoldása, \(\displaystyle d=4\) megoldása, több megoldás pedig nincs, mivel a jobb oldal mindig a kétszeresére nő, a bal oldal pedig kevesebb, mint a kétszeresére: \(\displaystyle \frac{d+1}{d}<2\), ha \(\displaystyle d>1\). Így \(\displaystyle a=2^4=16\), és ez jó is: \(\displaystyle 16^4=2^{16}\).

Ha \(\displaystyle c=1\), akkor \(\displaystyle a=b^2\), így \(\displaystyle (b^2)^{b^2}=b^{b^2}\). Mivel \(\displaystyle b\) pozitív egész, ezért ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle b=b^2\), azaz \(\displaystyle b=1\), és ekkor \(\displaystyle a=1\), ami már volt.

Ha \(\displaystyle c=2\), akkor \(\displaystyle a=2b^2\), így \(\displaystyle (2b^2)^{b^2}=b^{2b^2}=(b^2)^{b^2}\), így \(\displaystyle 2b^2=b^2\), nincs megoldás.

Ha \(\displaystyle c=3\), akkor \(\displaystyle a=3b^2\), így \(\displaystyle (3b^2)^{b^2}=b^{3b^2}\), így \(\displaystyle (3b^2)^{b^2}=(b^3)^{b^2}\), így \(\displaystyle 3b^2=b^3\), azaz \(\displaystyle b=3\) és \(\displaystyle a=27\). Ez jó is: \(\displaystyle 27^9=3^{27}\).

Tehát három megoldás van: \(\displaystyle (a,b)=(1,1)\), \(\displaystyle (16,2)\) és \(\displaystyle (27,3)\).

Szebellédi Márton (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)


Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Andi Gabriel Brojbeanu, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Imolay András, Kerekes Anna, Lajkó Kálmán, Nagy-György Pál, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Szebellédi Márton, Tóth Viktor, Török Tímea, Váli Benedek, Varga-Umbrich Eszter, Williams Kada.
4 pontot kapott:Bereczki Zoltán, Czirkos Angéla, Hraboczki Attila Márton, Leitereg Miklós, Nagy Kartal.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai