A B. 4717. feladat (2015. május)

B. 4717. Oldjuk meg az

\(\displaystyle |1-x| = \left|2x-57-2\sqrt{x-55}+\frac{1}{x-54-2\sqrt{x-55}}\right| \)

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Négyzetgyököt csak nemnegatív számból tudunk vonni, így \(\displaystyle {x\ge 55}\). Emiatt a bal oldalon \(\displaystyle 1-x<0\), az abszolút értéke tehát \(\displaystyle x-1\). A jobb oldalon a nevezőben szereplő kifejezés teljes négyzetté alakítható:

\(\displaystyle x-54-2\sqrt{x-55}= x-55-2\sqrt{x-55}+1= \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}. \)

Ezt a teljes négyzetet a másik, jobb oldalon szereplő irracionális algebrai kifejezésből is leválaszthatjuk. Ezekkel a megfontolásokkal az egyenlet:

\(\displaystyle x-1=\Bigg|\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+x-3+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}\Bigg|. \)

Mivel \(\displaystyle x\ge 55\), ezért a jobb oldalon pozitív kifejezés áll, az abszolútérték el is hagyható:

\(\displaystyle x-1= x-3+\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}. \)

Innen

\(\displaystyle \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}=2. \)

Egy pozitív számnak és a reciprokának az összege pontosan akkor 2, ha a szám és reciproka egyenlő, azaz 1.

\(\displaystyle \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}=1,\)

\(\displaystyle \sqrt{x-55}-1=1, \qquad\text{vagy} \qquad \sqrt{x-55}-1=-1.\)

Az elsőből \(\displaystyle \sqrt{x-55}=2\), \(\displaystyle x-55=4\), \(\displaystyle x=59\). A másodikból pedig \(\displaystyle \sqrt{x-55}=0\), \(\displaystyle {x=55}\). Behelyettesítéssel látható, hogy ezek valóban megoldásai az eredeti egyenletnek.

Telek Máté László (Salgótarján, Táncsics Mihály Közg. és Keresk. Szki, 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	79 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai