A B. 4717. feladat (2015. május)

B. 4717. Oldjuk meg az

$\displaystyle |1-x| = \left|2x-57-2\sqrt{x-55}+\frac{1}{x-54-2\sqrt{x-55}}\right|$

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Négyzetgyököt csak nemnegatív számból tudunk vonni, így $\displaystyle {x\ge 55}$. Emiatt a bal oldalon $\displaystyle 1-x<0$, az abszolút értéke tehát $\displaystyle x-1$. A jobb oldalon a nevezőben szereplő kifejezés teljes négyzetté alakítható:

$\displaystyle x-54-2\sqrt{x-55}= x-55-2\sqrt{x-55}+1= \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}.$

Ezt a teljes négyzetet a másik, jobb oldalon szereplő irracionális algebrai kifejezésből is leválaszthatjuk. Ezekkel a megfontolásokkal az egyenlet:

$\displaystyle x-1=\Bigg|\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+x-3+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}\Bigg|.$

Mivel $\displaystyle x\ge 55$, ezért a jobb oldalon pozitív kifejezés áll, az abszolútérték el is hagyható:

$\displaystyle x-1= x-3+\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}.$

Innen

$\displaystyle \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}+\frac{1}{\big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}}=2.$

Egy pozitív számnak és a reciprokának az összege pontosan akkor 2, ha a szám és reciproka egyenlő, azaz 1.

$\displaystyle \big(\sqrt{x-55}-1\big)^{2}=1,$

$\displaystyle \sqrt{x-55}-1=1, \qquad\text{vagy} \qquad \sqrt{x-55}-1=-1.$

Az elsőből $\displaystyle \sqrt{x-55}=2$, $\displaystyle x-55=4$, $\displaystyle x=59$. A másodikból pedig $\displaystyle \sqrt{x-55}=0$, $\displaystyle {x=55}$. Behelyettesítéssel látható, hogy ezek valóban megoldásai az eredeti egyenletnek.

Telek Máté László (Salgótarján, Táncsics Mihály Közg. és Keresk. Szki, 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	79 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai