 |
A B. 4724. feladat (2015. szeptember) |
B. 4724. Oldjuk meg és ábrázoljuk az
x+y−xy+1x+1y−1xy≤2
egyenlőtlenséget.
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. Írjuk át az egyenlőtlenséget a következő alakba:
0≤xy+1−x−1y−y−1x+1+1xy.
Ekkor mindent közös nevezőre hozva, a számlálóból kiemelhető (xy+1), sőt, a kapott kifejezés még tovább bontható, így a következő alakhoz jutunk:
0≤(x−1)(y−1)(xy+1)xy.
A megoldáshoz egy egyszerű előjel vizsgálatra van szükség, érdemes kilenc esetet külön vizsgálni aszerint, hogy x, illetve y negatív, 0 és 1 között van-e (0-nál nem értelmes a kifejezés, így azzal nem foglalkozunk tovább), vagy 1-nél nagyobb (az 1-et is beleértve).
Az 1., 5., 6., 8. és 9. eset könnyű, hiszen ezeknél mindegyik szorzótényezőről egyértelműen eldönthető, hogy pozitív, vagy negatív-e, így az 1., 5. és 9. esetben látjuk, hogy minden (x;y) számpár megfelel, míg a 6. és 8. esetekben egy számpár sem jó. A maradék négy esetben keletkezik újabb feltétel: ha 0<x<1, valamint y<0 (2. eset), akkor (x−1)<0;(y−1)<0;xy<0, így (xy+1)≤0 kell, hogy teljesüljön. Ez azt jelenti, hogy y≤−1x. Hasonlóan a 3. esetre az y≥−1x feltételt kapjuk, míg a 4. és 7. esetekre éppen ezek fordítottjait. Ezek alapján a 2. ábra szemlélteti a megoldásokat a valós számpárok halmazán. (A képen a sötét színnel jelzett határok igen, míg a világosak nem tartoznak hozzá a megoldáshalmazhoz.)
Statisztika:
157 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 97 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai
|
|