A B. 4872. feladat (2017. április) |
B. 4872. Legyenek \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle r\) különböző prímszámok, és \(\displaystyle n=pq^2r^3\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle (n,1)+(n,2)+\ldots+(n,n) =qr^2(2p-1)(3q-2)(4r-3), \)
ahol \(\displaystyle (a,b)\) az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok legnagyobb közös osztóját jelenti.
Javasolta: Szoldatics József (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(n)=(n,1)+(n,2)+\dots+(n,n)\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f\) úgynevezett multiplikatív számelméleti függvény, ami azt jelenti, hogy ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor \(\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)\). Ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle (ab,i)=(a,i)(b,i)\). A kínai maradéktétel szerint minden \(\displaystyle 0\leq i\leq a-1\) és \(\displaystyle 0\leq j\leq b-1\) számpárra pontosan egy olyan \(\displaystyle n(i,j)\) szám van 1 és \(\displaystyle ab\) között, amelynek \(\displaystyle a\)-as maradéka éppen \(\displaystyle i\), \(\displaystyle b\)-es maradéka pedig \(\displaystyle j\). Az eddigiek alapján:
\(\displaystyle f(ab)=\sum\limits_{i=1}^{ab}(ab,i)=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(ab,n(i,j))=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,n(i,j))(b,n(i,j))=\)
\(\displaystyle =\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}(a,i)\sum\limits_{j=1}^{b}(b,j)=f(a)f(b).\)
Tehát \(\displaystyle f\) valóban multiplikatív.
Ha \(\displaystyle p\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(p)=(p,1)+(p,2)+\dots+(p,p)=p\cdot 1 + 1\cdot (p-1)=2p-1\), hiszen \(\displaystyle (p,p)=1\), a többi tag pedig 1.
Ha \(\displaystyle q\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(q^2)=(q^2,1)+(q^2,2)+\dots+(q^2,q^2)=q^2\cdot 1+q\cdot (q-1)+1\cdot (q^2-q)=3q^2-2q=q(3q-2)\), hiszen \(\displaystyle (q^2,q^2)=q^2\); \(\displaystyle (q^2,q)=(q^2,2q)=\dots=(q^2,q(q-1))=q\); a többi tag pedig 1.
Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle r\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(r^3)=r^3\cdot 1+r^2\cdot (r-1)+r\cdot (r^2-r)+1\cdot (r^3-r^2)=4r^3-3r^2=r^2(4r-3)\).
Ebből már adódik az állítás.
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Marshall Tamás, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Weisz Máté. 5 pontot kapott: Kővári Péter Viktor, Tiszay Ádám, Zólomy Kristóf. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai