A B. 4904. feladat (2017. november)

B. 4904. Egy \(\displaystyle S\) síkidomnak pontosan kettő szimmetriatengelye van. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle S\) középpontosan is szimmetrikus.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle S\) síkidom két különböző szimmetriatengelye \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\). Tükrözzük \(\displaystyle f\)-re \(\displaystyle e\)-t és \(\displaystyle S\)-t, így kapjuk \(\displaystyle e'\)-t és \(\displaystyle S'\)-t. Világos, hogy \(\displaystyle e'\) szimmetriatengelye \(\displaystyle S'\)-nek. (Szemléletesen: az \(\displaystyle f\)-re vonatozó tengelyes tükrözést elképzelhetjük úgy, hogy \(\displaystyle f\) körül átfordítjuk \(\displaystyle S\) síkját, és a síkot "hátulról" nézzük. Ez a művelet természetesen nem befolyásolja azt a tényt, hogy a síkra rajzolt alakzatnak egy egyenes a szimmetriatengelye.) Mivel \(\displaystyle f\) szimmetriatengely, így \(\displaystyle S'=S\), tehát \(\displaystyle e'\) is szimmetriatengelye \(\displaystyle S\)-nek. Mivel \(\displaystyle S\)-nek pontosan az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) szimmetriatengelyei, és \(\displaystyle e\neq f\), így \(\displaystyle e=e'\) következik, és ebből szükségképpen \(\displaystyle e\perp f\).

Legyen \(\displaystyle M=e\cap f\). Vegyünk egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontot és tükrözzük először \(\displaystyle e\)-re, majd \(\displaystyle f\)-re is, így kapjuk \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle P''\) pontokat. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle PP''\) szakasz felezőpontja. Ha \(\displaystyle P\) illeszkedik \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) valamelyikére, akkor az állítás nyilvánvaló. Egyébként \(\displaystyle PP'P''\) egy derékszögű háromszög (mivel \(\displaystyle e\perp f\)), \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) pedig a \(\displaystyle PP'\) és \(\displaystyle P'P''\) befogók szakaszfelező-merőlegesei. Ezek a körülírt kör középpontjában metszik egymást, ami a Thalész-tétel megfordítása miatt épp a \(\displaystyle PP''\) átfogó felezéspontja.

Tehát egy tetszőleges \(\displaystyle P\in S\) pont \(\displaystyle M\)-re vonatkozó tükörképe épp \(\displaystyle P''\), s mivel \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) szimmetriatengelyek, így \(\displaystyle P'\in S\), továbbá \(\displaystyle P''\in S\). Ezért \(\displaystyle S\) középpontosan szimmetrikus \(\displaystyle M\)-re, amivel az állítást beláttuk.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai