 |
A B. 4904. feladat (2017. november) |
B. 4904. Egy S síkidomnak pontosan kettő szimmetriatengelye van. Mutassuk meg, hogy S középpontosan is szimmetrikus.
(3 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az S síkidom két különböző szimmetriatengelye e és f. Tükrözzük f-re e-t és S-t, így kapjuk e′-t és S′-t. Világos, hogy e′ szimmetriatengelye S′-nek. (Szemléletesen: az f-re vonatozó tengelyes tükrözést elképzelhetjük úgy, hogy f körül átfordítjuk S síkját, és a síkot "hátulról" nézzük. Ez a művelet természetesen nem befolyásolja azt a tényt, hogy a síkra rajzolt alakzatnak egy egyenes a szimmetriatengelye.) Mivel f szimmetriatengely, így S′=S, tehát e′ is szimmetriatengelye S-nek. Mivel S-nek pontosan az e és f szimmetriatengelyei, és e≠f, így e=e′ következik, és ebből szükségképpen e⊥f.
Legyen M=e∩f. Vegyünk egy tetszőleges P pontot és tükrözzük először e-re, majd f-re is, így kapjuk P′ és P″ pontokat. Megmutatjuk, hogy M a PP″ szakasz felezőpontja. Ha P illeszkedik e és f valamelyikére, akkor az állítás nyilvánvaló. Egyébként PP′P″ egy derékszögű háromszög (mivel e⊥f), e és f pedig a PP′ és P′P″ befogók szakaszfelező-merőlegesei. Ezek a körülírt kör középpontjában metszik egymást, ami a Thalész-tétel megfordítása miatt épp a PP″ átfogó felezéspontja.
Tehát egy tetszőleges P∈S pont M-re vonatkozó tükörképe épp P″, s mivel e és f szimmetriatengelyek, így P′∈S, továbbá P″∈S. Ezért S középpontosan szimmetrikus M-re, amivel az állítást beláttuk.
Statisztika:
110 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 64 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző.
A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai
|
|