A B. 4911. feladat (2017. november)

B. 4911. Egy \(\displaystyle 8\times 8\)-as sakktáblára bábukat helyeztünk úgy, hogy minden sorba és minden oszlopba is páratlan számú bábu került. Bizonyítsuk be, hogy a sötét mezőkön összesen páros sok bábu áll.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle X\) oszlopban (ahol \(\displaystyle X\in \{A,B,\dots,H\}\)) lévő bábuk számát jelölje \(\displaystyle o(X)\), az \(\displaystyle i\) sorban (ahol \(\displaystyle i\in \{1,2,\dots,8\}\)) lévőkét pedig \(\displaystyle s(i)\). Tekintsük az

\(\displaystyle o(A)+o(C)+o(E)+o(G)+s(2)+s(4)+s(6)+s(8)\)

összeget. (A megoldás során úgy vesszük, hogy A1 színe sötét, a szabályos sakktáblákra ez teljesül. A feladat állítása természetesen akkor is igaz marad, ha valaki ,,fordítva színezett'' sakktáblát használ.) Itt 4 oszlopban és 4 sorban lévő bábuk számát adtuk össze. A 4 sor és 4 oszlop együttesen lefedi az összes sötét mezőt (mindegyiket pontosan egy sor vagy oszlop tartalmazza a fentiek közül), a 4 sor és 4 oszlop keresztezéseiben lévő 16 világos mező mindegyikét egy sor és egy oszlop tartalmazza, továbbá a maradék 16 világos mező ezek közül egyik sorban és egyik oszlopban sem szerepel. Vagyis a fenti összegben minden sötét mezőt pontosan egyszer, a világos mezők egy részét 2-szer, másik részét 0-szor számoltuk. Az összeg paritása tehát megegyezik a sötét mezőkön lévő bábuk számának paritásával. A feltétel szerint mind a 8 összeadandó páratlan, így a feladat állítását igazoltuk: a sötét mezőkön összesen páros sok bábu áll.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	63 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai