Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4954. feladat (2018. április)

B. 4954. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsán keresztül húzzunk egy \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos \(\displaystyle \ell\) egyenest. Az \(\displaystyle \ell\) messe az \(\displaystyle ABC\), illetve az \(\displaystyle ACB\) szög belső szögfelezőjét \(\displaystyle K\)-ban, illetve \(\displaystyle L\)-ben. A beírt kör \(\displaystyle BC\)-n levő érintési pontja \(\displaystyle D\). Mutassuk meg, hogy a körülírt kör a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körét két pontban metszi, és ez a két pont kollineáris \(\displaystyle D\)-vel.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle D\)-nek ugyanaz a körülírt körre és a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa. Legyen \(\displaystyle BC\) felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle LK\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F'\), a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle OD\) egyenes és \(\displaystyle \ell\) metszéspontja pedig \(\displaystyle D'\). Nyilván \(\displaystyle D'D\) a háromszög \(\displaystyle BC=a\) oldalához tartozó \(\displaystyle m_a\) magasságvonala. \(\displaystyle KBC\sphericalangle = BKL \sphericalangle\) váltószögek, ugyanígy \(\displaystyle LCB\sphericalangle = KLC \sphericalangle\) is; ezért az \(\displaystyle OBC\) és \(\displaystyle OKL\) háromszögek hasonlók; a hasonlóság aránya (az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét \(\displaystyle t\)-vel jelölve)

\(\displaystyle \frac{LK}{a}=\frac{F'D'}{DF}=\frac{D'O}{OD}=\frac{m_a-OD}{OD}=\frac{m_a}{OD}-1= \frac{2t/a}{2t/(a+b+c)}-1= \frac{b+c}{a}, \)

ezért \(\displaystyle LK=a\cdot \dfrac{b+c}{a}=b+c\), \(\displaystyle F'D'=DF\cdot \dfrac{b+c}{a}=\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a+c-b}{2}\right)\cdot \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}\), így a \(\displaystyle D\) pontnak a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa:

\(\displaystyle (DF'+F'K)\cdot (DF'-F'K)=DF'^2 - F'K^2 = (F'D'^2 + D'D^2)- F'K^2 = \)

\(\displaystyle =\left( \left( \dfrac{b^2-c^2}{2a}\right)^2+\left( \dfrac{2t}{a} \right)^2\right) - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = \dfrac{(b^2-c^2)^2 + 16t^2}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2, \)

ami a háromszög területére ismert Heron-képlet szerint

\(\displaystyle \dfrac{-a^4 + 2a^2 (b^2+c^2)}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Ugyanakkor

\(\displaystyle -DB\cdot DC = -\dfrac{a+c-b}{2}\cdot \dfrac{a+b-c}{2} = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Tehát \(\displaystyle D\) a két kör hatványvonalán van, és a két körre vonatkozó hatványa negatív. A \(\displaystyle D\) pont tehát mindkét kör belsejébe esik, így a hatványvonalnak létezik a körök belsejébe eső darabja. Ebből következik, hogy a körök két pontban metszik egymást, és a metszéspontok által meghatározott egyenes a hatványvonal; a rajta levő két metszéspont és \(\displaystyle D\) ezért kollineárisak.


Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bán-Szabó Áron, Beke Csongor, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté.
5 pontot kapott:Póta Balázs.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai