A B. 4954. feladat (2018. április)

B. 4954. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$ csúcsán keresztül húzzunk egy $\displaystyle BC$-vel párhuzamos $\displaystyle \ell$ egyenest. Az $\displaystyle \ell$ messe az $\displaystyle ABC$, illetve az $\displaystyle ACB$ szög belső szögfelezőjét $\displaystyle K$-ban, illetve $\displaystyle L$-ben. A beírt kör $\displaystyle BC$-n levő érintési pontja $\displaystyle D$. Mutassuk meg, hogy a körülírt kör a $\displaystyle KL$ szakasz Thalész-körét két pontban metszi, és ez a két pont kollineáris $\displaystyle D$-vel.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy $\displaystyle D$-nek ugyanaz a körülírt körre és a $\displaystyle KL$ szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa. Legyen $\displaystyle BC$ felezőpontja $\displaystyle F$, az $\displaystyle LK$ szakasz felezőpontja $\displaystyle F'$, a beírt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle OD$ egyenes és $\displaystyle \ell$ metszéspontja pedig $\displaystyle D'$. Nyilván $\displaystyle D'D$ a háromszög $\displaystyle BC=a$ oldalához tartozó $\displaystyle m_a$ magasságvonala. $\displaystyle KBC\sphericalangle = BKL \sphericalangle$ váltószögek, ugyanígy $\displaystyle LCB\sphericalangle = KLC \sphericalangle$ is; ezért az $\displaystyle OBC$ és $\displaystyle OKL$ háromszögek hasonlók; a hasonlóság aránya (az $\displaystyle ABC$ háromszög területét $\displaystyle t$-vel jelölve)

$\displaystyle \frac{LK}{a}=\frac{F'D'}{DF}=\frac{D'O}{OD}=\frac{m_a-OD}{OD}=\frac{m_a}{OD}-1= \frac{2t/a}{2t/(a+b+c)}-1= \frac{b+c}{a},$

ezért $\displaystyle LK=a\cdot \dfrac{b+c}{a}=b+c$, $\displaystyle F'D'=DF\cdot \dfrac{b+c}{a}=\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a+c-b}{2}\right)\cdot \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}$, így a $\displaystyle D$ pontnak a $\displaystyle KL$ szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa:

$\displaystyle (DF'+F'K)\cdot (DF'-F'K)=DF'^2 - F'K^2 = (F'D'^2 + D'D^2)- F'K^2 =$

$\displaystyle =\left( \left( \dfrac{b^2-c^2}{2a}\right)^2+\left( \dfrac{2t}{a} \right)^2\right) - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = \dfrac{(b^2-c^2)^2 + 16t^2}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2,$

ami a háromszög területére ismert Heron-képlet szerint

$\displaystyle \dfrac{-a^4 + 2a^2 (b^2+c^2)}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}.$

Ugyanakkor

$\displaystyle -DB\cdot DC = -\dfrac{a+c-b}{2}\cdot \dfrac{a+b-c}{2} = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}.$

Tehát $\displaystyle D$ a két kör hatványvonalán van, és a két körre vonatkozó hatványa negatív. A $\displaystyle D$ pont tehát mindkét kör belsejébe esik, így a hatványvonalnak létezik a körök belsejébe eső darabja. Ebből következik, hogy a körök két pontban metszik egymást, és a metszéspontok által meghatározott egyenes a hatványvonal; a rajta levő két metszéspont és $\displaystyle D$ ezért kollineárisak.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté.
5 pontot kapott:	Póta Balázs.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai