Problem B. 4967. (September 2018)

B. 4967. Let \(\displaystyle P\) be an interior point of \(\displaystyle \triangle ABC\), and the midpoint of sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\) are \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\) and \(\displaystyle B_1\), respectively. Through the points \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) and \(\displaystyle C_1\), draw parallels to the lines \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) and \(\displaystyle CP\), respectively. Show that these three lines are concurrent.

Proposed by J. Kozma, Szeged

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\triangle\) súlypontja \(\displaystyle S\). Az \(\displaystyle S\) középpontú, \(\displaystyle \lambda=-1/2\) arányú középpontos hasonlóság az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), ill. \(\displaystyle C_1\) pontokba képezi a súlypont ismert tulajdonsága miatt. Legyen továbbá a \(\displaystyle P\) pont képe \(\displaystyle P'\). Így az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek képei rendre \(\displaystyle A_1P'\), \(\displaystyle B_1P'\) és \(\displaystyle C_1P'\); és így a középpontos hasonlóság ismert tulajdonsága miatt \(\displaystyle AP\parallel A_1P'\), \(\displaystyle BP\parallel B_1P'\), ill. \(\displaystyle CP\parallel C_1P'\). Kaptuk, hogy az \(\displaystyle A_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle AP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle A_1P'\), a \(\displaystyle B_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle BP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle B_1P'\) és a \(\displaystyle C_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle CP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle C_1P'\). Vagyis a szóban forgó egyenesek mindegyike illeszkedik a \(\displaystyle P'\) pontra, amivel a feladat állítását beláttuk.

Statistics:

131 students sent a solution.
3 points:	112 students.
2 points:	10 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018