Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4977. feladat (2018. október)

B. 4977. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszög beírt körének érintési pontjai által meghatározott háromszög magasságpontja a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasságvonalára illeszkedik.

(Kvant)

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő szög, \(\displaystyle γ= 90°\); \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) a beírt körnek a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalon lévő érintési pontjai; végül \(\displaystyle CH\) az átfogóhoz tartozó magasság. A külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyenlősége miatt \(\displaystyle AB'=AC'\), így az \(\displaystyle AC'B'\triangle\) egyenlő szárú, és \(\displaystyle AC'B'\angle=AB'C'\angle\). Messe az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög \(\displaystyle A'\)-ből induló magasságvonala \(\displaystyle CH\)-t \(\displaystyle M\)-ben.

Mivel \(\displaystyle CH\perp AC'\) és \(\displaystyle A'M\perp B'C'\), így \(\displaystyle AC'B'\angle\) és \(\displaystyle CMA'\angle\) merőleges szárú szögek, ezért \(\displaystyle CMA'\angle=AC'B'\angle\). Hasonlóan \(\displaystyle MA'C\angle\) és \(\displaystyle C'B'A\angle\) is merőleges szárú szögpár, hiszen \(\displaystyle A'C\perp AB'\) és \(\displaystyle A'M\perp C'B'\), így \(\displaystyle MA'C\angle=C'B'A\angle\). Az eddigiekből következik, hogy \(\displaystyle MA'C\angle=C'B'A\angle=AC'B'\angle=CMA'\angle\), így \(\displaystyle CM=A'C\).

Legyen \(\displaystyle M'\) az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög \(\displaystyle B'\)-ből induló magasságvonalának és \(\displaystyle CH\)-nak a metszéspontja. A fenti gondolatmenethez analóg módon kapjuk, hogy \(\displaystyle CM'=B'C\). Ismét a külső pontból körhöz húzott érintők egyenlősége miatt \(\displaystyle CB'=CA'\), és így \(\displaystyle CM=CM'\) következik, ami miatt \(\displaystyle M=M'\). Ezzel megmutattuk, hogy a \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög \(\displaystyle A'\)-ből, ill. \(\displaystyle B'\)-ből induló magasságai \(\displaystyle CH\)-n metszik egymást, így az állítást beláttuk.

Megjegyzés. Ha \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja, és \(\displaystyle r\) a sugara, akkor a \(\displaystyle KA'CB'\) négyszög egy négyzet. Ezért a fenti megoldásból következik, hogy \(\displaystyle CM= r\).


Statisztika:

A B. 4977. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai