A B. 4983. feladat (2018. november)

B. 4983. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^2+2x-3-\sqrt{\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-3}}=\frac{2}{x^2-2x-3}. \)

Javasolta: Laczkó László és Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések akkor értelmesek, ha \(\displaystyle x^2-2x-3\ne 0\), és \(\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-3} \geq 0\). Mivel \(\displaystyle x^2-2x-3=(x-1)^2-4\), ezért \(\displaystyle x^2-2x-3\ne 0\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x\notin\{-1,3\}\). Ha \(\displaystyle -1<x<3\), akkor \(\displaystyle x^2-2x-3<0\), ha pedig \(\displaystyle x<-1\) vagy \(\displaystyle 3<x\), akkor \(\displaystyle x^2-2x-3>0\). Ehhez hasonlóan, \(\displaystyle x^2+2x-3=(x+1)^2-4\) alapján \(\displaystyle -3< x< 1\) esetén \(\displaystyle x^2+2x-3<0\), továbbá \(\displaystyle x\leq -3\) vagy \(\displaystyle 1\leq x\) mellett \(\displaystyle x^2+2x-3\geq 0\). Mindezt összefoglalva, az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\in (-\infty,-3]\cup (-1,1]\cup (3,\infty)\).

Vizsgáljuk először azokat az \(\displaystyle x\)-eket, amelyekre \(\displaystyle x\in (-\infty,-3]\cup (3,\infty)\) teljesül, ekkor \(\displaystyle x^2-2x-3\) pozitív, \(\displaystyle x^2+2x-3\) nemnegatív. Szorozzunk \(\displaystyle (x^2-2x-3)\)-mal:

\(\displaystyle (x^2+2x-3)(x^2-2x-3)-\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}=2.\)

Ekkor \(\displaystyle z=\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}\)-re

\(\displaystyle z^2-z-2=0,\)

amiből \(\displaystyle z\in \{-1,2\}\). Mivel \(\displaystyle z\geq0\), ezért csak \(\displaystyle z=2\) lehet, tehát \(\displaystyle 4=z^2=(x^2-2x-3)(x^2+2x-3)=(x^2-3)^2-4x^2=x^4-10x^2+9\). Azaz \(\displaystyle x^4-10x^2+5=0\), amiből \(\displaystyle x^2\in \frac{10\pm \sqrt{80}}{2}=5\pm\sqrt{20}\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle |x|\geq 3\), ebből az \(\displaystyle x=\pm \sqrt{5+\sqrt{20}}\) megoldásokat kapjuk.

Végül vizsgáljuk azokat az \(\displaystyle x\)-eket, amelyekre \(\displaystyle x\in (-1,1]\) teljesül, ekkor \(\displaystyle x^2-2x-3\) negatív, \(\displaystyle x^2+2x-3\) nempozitív. Szorozzunk \(\displaystyle (x^2-2x-3)\)-mal:

\(\displaystyle (x^2+2x-3)(x^2-2x-3)+\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}=2.\)

(Itt a bal oldalon szereplő gyökjel alatti kifejezés előtti előjel azért változott meg, mert negatív számmal szoroztunk, és ennek négyzetét ,,vittük be'' a gyökjel alá. Ha \(\displaystyle a<0<b\), akkor \(\displaystyle a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\), hiszen a két oldal abszolút értéke és előjele is egyezik.)

Ekkor \(\displaystyle z=\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}\)-re

\(\displaystyle z^2+z-2=0,\)

amiből \(\displaystyle z\in \{1,-2\}\). Mivel \(\displaystyle z\geq 0\), ezért csak \(\displaystyle z=1\) lehet, tehát \(\displaystyle 1=z^2=(x^2-2x-3)(x^2+2x-3)=(x^2-3)^2-4x^2=x^4-10x^2+9\). Azaz \(\displaystyle x^4-10x^2+8=0\), amiből \(\displaystyle x^2\in \frac{10\pm \sqrt{68}}{2}=5\pm\sqrt{17}\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle |x|\leq 1\), ebből az \(\displaystyle x=\pm \sqrt{5-\sqrt{17}}\) megoldásokat kapjuk.

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: \(\displaystyle \pm \sqrt{5+\sqrt{20}}\), illetve \(\displaystyle \pm \sqrt{5-\sqrt{17}}\).

Statisztika:

162 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Argay Zsolt, Bánó Bulcsú, Baski Bence, Bauer Lujza, Beke Csongor, Csiszár Zoltán, Demkó Petra, Dénes Gergő, Dobák Dániel, Farkas Boróka, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Horvath Csongor, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Major Botond, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Mendei Barna, Nguyen Bich Diep, Nguyễn Minh Khang, Péter Kristóf, Reimann Kristóf, Sárvári Tibor, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Tálos Zoltán, Telek Zsigmond , Tiefenbeck Flórián, Tóth 827 Balázs, Umann Dávid, Vincze András , Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	45 versenyző.
1 pontot kapott:	33 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai