Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5006. feladat (2019. február)

B. 5006. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz alapjai \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\), az átlók metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AC\) átló felezi a \(\displaystyle BAD\) szöget, \(\displaystyle AM=BC\) és \(\displaystyle BM=CD\). Határozzuk meg a trapéz szögeit.

OKTV feladat alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle DAC\measuredangle=CAB\measuredangle=ACD\measuredangle=\alpha\), \(\displaystyle ABD\measuredangle=BDC\measuredangle=\beta\) és \(\displaystyle DBC\measuredangle=\gamma\).

Az \(\displaystyle AMB\) és \(\displaystyle BCD\) háromszögekben \(\displaystyle AM=BC\), \(\displaystyle BM=CD\) és \(\displaystyle ABM\measuredangle=CDB\measuredangle\). Tehát két oldal, és az egyikkel szemközti szög megegyezik. Ez csak úgy lehetséges, ha (1) a másik oldallal szemközti szögek is megegyeznek, vagyis \(\displaystyle \alpha=\gamma\) (és a két háromszög egybevágó), vagy (2) a két szög összege \(\displaystyle \alpha+\gamma=180^\circ\). (Ugyanezt leolvashatjuk abból is, ha felírjuk a szinusztételt a két háromszögre: \(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{BM}{AM}=\frac{CD}{BC}=\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}\), tehát \(\displaystyle \sin\alpha=\sin\gamma\).)

Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle BCD\) háromszögben \(\displaystyle DBC\measuredangle=\gamma\) és \(\displaystyle BCD\measuredangle>MCD\measuredangle=\alpha\), ezért \(\displaystyle \alpha+\gamma < BCD\measuredangle+DBC\measuredangle<180^\circ\), így a (2) eset nem lehetséges.

Az (1) esetben \(\displaystyle DAC\measuredangle=\alpha=\gamma=DBC\measuredangle\); ebből látjuk, hogy a trapéz húrtrapéz, így szimmetrikus is; a szimmetria miatt most már \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma\) és \(\displaystyle AM=BM=AD\). Az \(\displaystyle ABM\), és a szintén egyenlő szárú \(\displaystyle AMD\) háromszög szögeinek összeszámolásából \(\displaystyle ADM\measuredangle=AMD\measuredangle=2\alpha\), illetve \(\displaystyle 180^\circ=DAM\measuredangle+MDA\measuredangle+ADM\measuredangle=5\alpha\), tehát \(\displaystyle \alpha=36^\circ\). A trapéz szögei \(\displaystyle DAB\measuredangle=ABC\measuredangle=72^\circ\) és \(\displaystyle BCD\measuredangle=CDA\measuredangle=108^\circ\).

Diszkusszió: A megoldás teljességéhez annak igazolása is szükséges, hogy a feltételeknek eleget tevő trapéz létezik. Abban a szimmetrikus trapézban, amelyben \(\displaystyle BC=CD=AD\) és a szögei a fenti nagyságúak, az \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle BCD\) egyenlő szárú háromszögekből láthatjuk, hogy \(\displaystyle DAC\measuredangle=ACD\measuredangle=DBC\measuredangle=CDB\measuredangle=36^\circ\); a trapéz \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsánál lévő szögeiből így \(\displaystyle MAB\measuredangle=ABM\measuredangle=36^\circ\); az \(\displaystyle ABM\) és \(\displaystyle ABD\) háromszögekből \(\displaystyle MDA\measuredangle=AMD\measuredangle=72^\circ\), emiatt az \(\displaystyle AMD\) háromszög egyenlő szárú, és \(\displaystyle BM=AM=AD=BC=CD\). Ez a trapéz tehát teljesíti a feltételekben leírt tulajdonságokat.


Statisztika:

A B. 5006. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai