Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5016. feladat (2019. március)

B. 5016. Adott egy \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög. Úgy jelöljük ki az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle E_1\), a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F_1\), az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle E_2\) és a \(\displaystyle BD\) átló \(\displaystyle F_2\) pontját, hogy

\(\displaystyle AE_1:E_1D=BF_1:F_1C=AE_2:E_2C=BF_2:F_2D=AB:CD. \)

Tudjuk, hogy semelyik két pont nem esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle E_1F_1\) és \(\displaystyle E_2F_2\) egyenesek merőlegesek egymásra.

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle AB=x\) és \(\displaystyle CD=y\). A feltétel szerint az \(\displaystyle E_1\) és az \(\displaystyle F_2\) pontok a \(\displaystyle DA\), illetve \(\displaystyle DB\) szakaszokat \(\displaystyle y:x\) arányban osztják, ezért \(\displaystyle \frac{DE_1}{DA}=\frac{DF_2}{DB}=\frac{y}{x+y}\). Ha az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle D\) pontból \(\displaystyle \frac{y}{x+y}\)-szorosára kicsinyítjük, éppen az \(\displaystyle E_1E_2\) szakaszt kapjuk. Ezért az \(\displaystyle E_1E_2\) szakasz hossza

\(\displaystyle E_1F_2 = \frac{y}{x+y}\cdot AB = \frac{y}{x+y}\cdot x = \frac{xy}{x+y}.\)

Hasonlóan, az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle C\)-ból \(\displaystyle \frac{y}{x+y}\)-szorosára, a \(\displaystyle CD\) szakaszt \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle \frac{x}{x+y}\)-szorosára kicsinyítve kapjuk, hogy \(\displaystyle E_2F_1=E_1E_2=F_1F_2=\frac{xy}{x+y}\).

Mint látjuk, az \(\displaystyle E_1E_2F_1F_2\) négyszög mindegyik oldala \(\displaystyle \frac{xy}{x+y}\) hosszúságú, az \(\displaystyle E_1E_2F_1F_2\) négyszög tehát egy rombusz. Akkor viszont az átlói, \(\displaystyle E_1F_1\) és \(\displaystyle E_2F_2\) merőlegesek egymásra.


Statisztika:

A B. 5016. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai